第4章 §2 2.3 三角函数的叠加及其应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．函数f(x)＝sin x－cos 的值域为 (　　) A．[－2，2] B．[－，] C．[－1，1] D． 解析：选B.因为f(x)＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin ，所以f(x)的值域为[－，].故选B. 2．计算：cos ＋sin ＝ (　　) A． B．2 C．2 D． 解析：选B.cos ＋sin ＝2 ＝2 ＝2sin ＝2sin ＝2.故选B. 3．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上单调递减，则a的最大值是 (　　) A． B． C． D．π 解析：选C.f(x)＝cos x－sin x＝cos .当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，<a＋≤π，即0<a≤，故所求a的最大值是.故选C. 4．已知f(x)＝sin －cos ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 029)的值为 (　　) A．2 B． C．1 D．0 解析：选B.因为f(x)＝sin －cos ＝2sin ＝2sin x， 所以f(x)的最小正周期为6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 029)＝f(2 029)＝f(1)＝.故选B. 5．(多选)已知cos α－cos (α＋)＝，则α的可能取值为 (　　) A．0 B． C． D． 解析：选AD.由cos α－cos (α＋)＝，得cos α＋sin α＝，即sin (α＋)＝，所以α＋＝2kπ＋，k∈Z或α＋＝2kπ＋，k∈Z，即α＝2kπ，k∈Z或α＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，α＝0或α＝.故选AD. 6．(多选)将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象沿x轴向左平移φ个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的值可以是 (　　) A． B． C． D． 解析：选AC.由已知y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，其图象沿x轴向左平移φ个单位长度后，得到y＝2sin ＝2sin (2x＋2φ＋)的图象．因为y＝2sin (2x＋2φ＋)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.当k＝0时，φ＝，当k＝1时，φ＝.故选AC. 7．把y＝sin ＋cos 2x化成y＝A sin (ωx＋φ)(A，ω>0，0≤φ<2π)的形式：__________． 解析：y＝sin ＋cos 2x＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝cos 2x＋sin 2x＝sin (k∈Z)，因为0≤φ<2π，所以y＝sin . 答案：y＝sin 8．函数f(x)＝sin 2x sin －cos 2x cos 在上的单调递增区间为____________． 解析：f(x)＝sin 2x sin －cos 2x cos ＝sin 2x sin ＋cos 2x cos ＝cos .当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．取k＝0，得－≤x≤，故函数f(x)在上的单调递增区间为. 答案： 9．已知sin x＋3cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则sin 2φ＝__________． 解析：sin x＋3cos x＝2(sin x＋cos x)＝2sin ＝2sin (x＋φ)，所以x＋＝x＋φ＋2kπ(k∈Z)，又因为φ∈(－π，π)，所以φ＝，所以sin 2φ＝sin ＝sin ＝. 答案： 10．(13分)已知函数f(x)＝cos －sin (ω>0). (1)求f(x)的最小值；(6分) (2)若函数y＝f(x)图象的两个相邻对称轴之间的距离为， 求其单调递增区间．(7分) 解：(1)因为f(x)＝cos －sin ＝cos ωx＋sin ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin ， 所以f(x)的最小值为－1. (2)由题意知f(x)的最小正周期为π，即＝π，得ω＝2，所以f(x)＝sin . 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. 11．已知函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)＋cos (2ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若f(x)的最小正周期为π，且f(－x)＝－f(x)，则f(x)的解析式为 (　　) A．f(x)＝－sin 2x B．f(x)＝sin 2x C.f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝cos 2x 解析：选A.由三角函数的叠加公式可得f(x)＝sin ，因为f(x)的最小正周期为π，所以2ω＝＝＝2，解得ω＝1，则f(x)＝sin .又因为f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z).又因为0<φ<π，则令k＝1，得φ＝，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝－sin 2x.故选A. 12．若a＝sin 14°－cos 14°，b＝sin 16°－cos 16°，c＝－，则a，b，c的大小关系是 (　　) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c 解析：选C.a＝sin 14°－cos 14°＝sin(14°－45°)＝－sin 31°，b＝sin 16°－cos 16°＝sin (16°－45°)＝－sin 29°，c＝－＝－sin 30°，由于y＝sin x(0°＜x＜90°)单调递增，所以sin 29°＜sin 30°＜sin 31°，所以b＞c＞a.故选C. 13．关于函数f(x)＝cos (2x－)＋cos (2x＋)，有下列命题：①其最大值为2；②其最小正周期为π；③在(，)上单调递减；④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后将与已知函数图象重合. 其中正确的命题是________．(填序号) 解析：f(x)＝cos (2x－)＋cos (2x＋) ＝cos (2x＋－)＋cos (2x＋) ＝sin (2x＋)＋cos (2x＋) ＝ ＝sin (2x＋＋) ＝sin (2x＋)， 所以函数f(x)的最大值是，①错误；最小正周期T＝＝＝π，②正确；当x∈(，)时，2x＋∈(，)，所以此时f(x)单调递减，③正确；将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为y＝cos 2(x＋)＝cos (2x＋)＝sin (2x＋)，与f(x)的图象不重合，④错误． 答案：②③ 14．(13分)已知函数y＝－a cos 2x－a sin 2x＋2a＋b，x∈，若函数的值域是[－5，1]，求常数a，b的值． 解：y＝－a(cos 2x＋sin 2x)＋2a＋b ＝－2a＋2a＋b ＝－2a cos ＋2a＋b. 因为x∈，所以2x－∈. 所以≤cos ≤1. 当a＞0时，ymax＝－2a×＋2a＋b＝1，① ymin＝－2a×1＋2a＋b＝－5.② 由①②解得a＝6，b＝－5.当a＝0时，y＝b与值域为[－5，1]矛盾，所以a≠0. 当a＜0时，ymax＝－2a×1＋2a＋b＝1，③ ymin＝－2a×＋2a＋b＝－5.④ 由③④解得a＝－6，b＝1. 综上所述，或 15．(15分)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(6分) (2)设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(＋)＝1，且a＝2，求b＋c的取值范围．(9分) 解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，则T＝＝π，函数f(x)的最小正周期为π. 当＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为 (k∈Z). (2)因为f(＋)＝1，所以sin (A＋)＝1， 因为A∈(0，π)，所以A＝，因为a＝2， 则由正弦定理可得b＝＝， c＝， 所以b＋c＝(sin B＋sin C)＝[sin B＋sin (A＋B)]＝sin B＋sin (＋B)＝sin B＋·＝(sin B＋cos B)＝4sin (B＋)，因为A＝，所以B∈(0，)，所以B＋∈(，)，所以sin (B＋)∈，则4sin (B＋)∈(2，4]，所以b＋c的取值范围为(2，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $