第4章 2.4 积化和差与和差化积公式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.C解析：由ana+iamB=s加g+smB-sin+sin eos&- cos a cos B cos acos B in(a9.得in(aB)。=4 4 cos acos B co acos p3,所以in(a+B)-子B. 又sn(a+B)=2ms(a-B).所以号=2s（a-B).即 4 3 eos acos B=2 eos ceo B+2 sinsin B,整理得-3 -eos s B= 1 sin osin B.tan ctan B=-3 所以a和B中-个是镜角，一个是锐角，所以子<a8<3 4 tan a+tan B 所以tan(ax+B)= 3 1-tan atanβ (1 =1,所以a8= 5.123°（答案不唯一）解析：易知sin12°-cos12°≠0， tan ain 12tco 12 an 121 lan12°+lan45° sm120-es12。m120-1-an459an12=-1an(12+ 45°)=-tan57°=tan(-57),.a=-57°+180°·k,k∈Z,当k=1 时，a=123°. 6.3解析： 1-tan 15 1 ×_tan45o-tanl50 1 3+am609an1505×1+an450·an15- tan(45o-15°)= 131 533 7. 4 解析：由2a+8=可得a+号=号放m(a+号） B tan o+tan2 5 1-tan ortan 2 =5,因为ana·an号=2-5，代人解得ama+ m号=5(，5-.可将me,m号看成方程户-5(6-10+2 √3=0的两根，解得t=2-√3或t=1. 因为a,B都是锐角，且2a+g=2如 3,由 0<a<2' T 2-2a 解得12<< 0 2 T 4 3,tan B= 3,所以tan(a+B)= 1 8.解：（1)依题意得tana= 21 tan a+tan B 33 9 1-tan atian B1-3X了 2x17 (2)①DQ=tana,BP=tanB,所以AQ=1-tana,AP=1-tanB, PO=2-AQ-AP=tan a+tan B, 在Rt△APQ中，AQ2+Ap2=PQ2,即(1-tamx)2+(1-anB)2= (tan a+tanB)2,整理得1-tana-tanB=tan atan B, 所um(ag8- ②由m(a+B)=1,a+Be[0,],得a+B=年，Sam=1 Seam5aeaw-5aw=1-子m&-子mg-(1-ma)1 11 tan B)=-2 tan ortan B. 由①可知1-tana-tanB=tan atan B≤1-2√an atan B,当且仅 当an=anB=√2-1时，等号成立， 所以tan atan B≤2-l,整理得tan ctan B≤3-22，所以S△cpw≥ }}3-20)=-1 必修第二册·BS 压轴挑战 A解析：因为tan(B+C)= )三BanC,所以tanB+ianC=tan(B+ C)·(1-tan Btan C),所以tanB+tanC=tan(T-A)(1-tan Btan C),所 以tanB+tanC=-tanA(1-tan Btan C),所以2tanA+tanB+tanC= 2tan A-tan A(1-tan Btan C),2tan A+tan B+tan C=tan A(1+tan Btan C). 因为2tanA+tanB+tanC=0,所以tanA(1+tan Btan C)=0.因为tanA≠ 0,所以tan Ban C=-l,所以tamA=am[m-(B+C)]=-tan Btan C 1-tan Btan C 子(mB+mO.令mBx,因为号B≤行所以mB≤-5，所以 ≤-，则mC=,所以amA 到=(）e(,-5],函数y=和y=在 (-∞，-√3]上都单调递增，所以f(x)在(-，-3]上单调递减，故 2.3三角函数的叠加及其应用 白题 基础过关 122c0s 2.AB解析：因为3sin2x-3c0s2x=23 32-2） 25sim(2x-5）,且5m2x-3m2r=25m2(x+p）.所以2r 3=2(x+9)+2km,6∈Z.解得中=6 π-km,k∈，所以p的值可能 是n5m 66 3.5 解折：a+5n《=?,由辅助角公式得2m(a号） 8 4.C解析：f(x)=2sinx+cosx=√5sin(x+p),由正弦函数的值域可得 其最大值为√5 5.A解析：由题意，f代x)=im 2T m音）-反an(告)所吹)的最小正周别是 1=6π. 6. 6 解析：因为f代x)=cos(3x+p)-√3sin(3x+p)=-2 「 -sin(3x+ )-2cos(x+p) ,所以/)=-2sin（3x+e- 6 因为(x)是 奇函数，所以p- 6 =kT,k∈Z.又0<p<T,所以k=0,p= 6 2 sin wx+ 2 cos @x+ 2 sin -2cos +cos=sin x+= 2/ (血r+so）+a=2in(o+石）+a,因为)的周期 为，所以20=m,解得0=2 (2))，八0=2n(2+）,令2+号≤2+石≤2m 黑白题048 经eZ,解得m名≤子ke乙。 所以商数)的单调递减区间为[k名=于](e。 6)ω得(+）[2m(2+）a]·[=(2 ）]-4m(2+若)✉(2x+若）+2a[m(2+）f (2a+石)]+，设1=sm(2x+若）+=(2x+）则 2m(a后）-(2+g）=-1.因为e[阳5得] m(2r+后）+m(2+君）-m(2+侣）所以2+智 x)+号)=22+2m+d2-2<0,所以{g0<0,即 (g(-1)<0, 2-2<0,解得 a2-2a<0, 2<a<D,所以0<a<2. 0<a<2, 故实数a的取值范围是(0,2). 重难聚焦 8.D解析：根据正弦定理BC-AC,BC AB sin A sin B'sin A-sin(120-B)AC= sinB· 25BA0=m(120-B)·-mB+5m公 BC △MBCc的周张为25血B3asB5nB+3-6n(+君）3 93第折：因为a6=0m9+5m0=2(停和9： 2cos 0- b2=12+(3)2=4,所以1a-b12=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1- 4m(6）4=5-4m(0r君）s9.当且仅当0石-2+2 62 (传eZ),即当0-+2k=(keZ)时，等号成立，因此.a-b的最大 值为3，故答案为3. 黑题 应用提优 1:A解扬：因为如(a-号）=(a-号）-2x[经m(a 写)m(a号)]-m(a-号+牙）an(a*8） 0+asin0=22m20ne所以2cs0如a csas血0=2sn(a0）-0.即sm(a0)-0放选t 2B舞折：=血=p(m9点) :直线x-行为函数)图象的一条对称轴子T+p=6如+习 5 (k∈Z). 3 n8()m g(x)=va2+I sin (x+0)cos 0=a va2+1=23 3 3.B解析：因为=s血2tom(2+1g）则)=血2-=2r 参考答案 将图象向右平移p(p>0)个单位长度，则g(x)=V3sim2(x-p) 石]-5n(2-2p6)】月 若VxeR,都有)+g)=0,则Yx∈R,5sm(2-石) 5n(2-24石）=0恒成立，即VeR血(2-2g-石)） m(名-2x）成立，故2-2g-石+g-2=2(+受），6ez 解得0=-如号后Z又p>0所以p的最小值为受 4.BCD解析：对于A代x)=VR+Isin(2x+p),其中ame=,由题 图可知f(x)的最大值为2，所以√1+k2=2,得k=√3（负值已舍去）， 故A错误； 对于Bx)=5sin2x+ms2x=2sin(2x+石)，由“五点法”，知点P 对应y=血图象上的点（红，0）.所以令2+名=，得：=径所以 6 P(设0）故B正确： 对于c,当xe(行)，2+石e(g,3)正弦曲线y sinx在区间 、石，6)内有4条对称轴，分别为直线=直线 7m31π =织，直线x=受和直线x=空对应地，八)的图象在区间 (行，）内也有4条对称轴故C正确： 对于D,由题意知血(24+石)血(2+石）受，由s图可 知2*后e()2+e(2n）所以(+ 2)m[(2+g)(2+6)门-w(2,+g)=(2 石）m(2+8)m(2+g）-(g)+受受1，故 D正确 5.A解析：由fx)=√3sin(x+p)+l,则f八x-c)=√13sin(x+e-c)+ 1,其中anp=3 可得2af(x)+bf(x-c)=2a·√13sin(x+p)+2a+b·√13sin(x+ p-c)+b=2a·√13sin(x+e）+2a+beos e·√13sin(x+p）-bsin c· √13cos(x+p)+b=(2a+beos c)√13sin(x+p)-bsin c√13cos(x+ p)+2a+b=1, 2a+bcos c=0①. 由题意可得{-bsin c=0②，若b=0.由①可得a=0,显然③不成 2a+b=1③， 立，故b≠0，则sinc=0,解得c=kT,k∈Z,易知cosc=±1， 当c=1时，显然①③矛盾：故0sc=-1,可得0-6怎0，解得 (2a+b=1. 所以beos e=-2. 2 16 6.0≤m≤5 解析：当m=0时，由-√3 msin a+(4-m)cosa=3m-4得 黑白题049 4c0sa=-4,有意义；当m≠0时，由-√3 msin a+(4-m)cosa=3m-4 得v3m+(4-m)sin(a+g)=3m-4(amp=(m-4 3m ,所以 3m-4 sin(a+)=- ,由-1≤sin(a+p）≤1得-1≤ 3m2+(4-m) 5m+4-m1.即13-1≤V3m4(4-m解得0m≤号 3m-4 16 6 综上，0≤m≤ 5 7.解：(1)函数f代x)=3 sin x+acos wx=√3+a2sin(ox+p）tang= ）,由)图象的一个对称中心到相邻对称错的距离为于，得 2行=子每得@2.则=5动2a2红o(君)】 3得0++分=3，g得a=1,所以0=5n2+om2x 2sin(2x+) 2曲e【u]得2s+e[22] 当[]时2ge[2[] 当1e[臣石)时，函数)在[，石]上单调递增，在 [石4]小上单调递减则M-(石）=2又石1+牙石 46 则m=+）因此n)=2-2m(2+号）2+西e [g-）m(2）=(o.]oe1.2: 当：e[石得]时，函数)在【+]上单调递该 =2n(2+6）m,=/(+）-2sm(2+2号）=2am(2+ ) 因此H)=2n(2+石)）-2s(2+g）=22n(2-2）,2 e[],ee2,2a. 所以)在区间L2·12] 上的值域为[1,22]. 2.4积化和差与和差化积公式 白题 基础过关 40°+20° 40°-20° 1.A 解析：sin40°-sin20 2cos 2 sin 2 c0s40°-c0s20° 40°+20° 40°-20° -2sin 2 3 c0s30°2 sin300=- =-3 1 2 2,C解析：sin37.5°c0s7.50=7[in(37.5°+7.5）+sin(37.5 759)]=(血454n30)-54 4 3.0解析：sin14°+sin46°-cos16°=2sin 14°+46°46°-14° 2 2 c0s16°=2sin30°c0s16°-c0s16°=0. 必修第二册·BS 4.、3 解析：c0s20°cos40°-c0s40°c0s80°+c0s80°c0s20°= 2[m(40420r)+es(40-20)1-2[cs(80+40)+ms(80 409)1+[m(0+20r)+s(s0-20r1=2[分+m20r] 1「1， 20sm10 3,1 4+2[2sin30°·sin10-sin10]=子 3 5e解折因为o(a+号)-(a-）【(a+ ）m(a)][-(号）s] 2（sin2a-l)=3,所以im2a=3 6.B解析：由sinx+cosa=sinB-cosB可得sinc-sinB+cosc+cosB= 0.测229n9+2g99-0.印om9(9 2 2 m）-n因为ae()8(受)所以e (号号)则m9≠0，可得m9:-L又因为“9。 2 2 (）则9即a=受 T 1B解桥：因为y=(+）n(-号）2号m 1所以y=血(+号）n(-号)的最大值为1散选 8.5m 解析：由题意得f代x)=sin3x-sin[(2x+p)+(x-p)]-sin[(2x+ p)-(x-p)]=-sin(x+2p) 因为/（年）=-血（年+2e）=1,所以+2p=-7+2,ez。 即p=-g+m,keZ因为pe(0,m),所以当k=1时，e=8 9.解：因为sin a+sinB=sin （学2）n(g）-mg9 =a,cos a+cos B=cos a+pa-B）+ 2 2sin a+8 a-B 12c0s24 2cos -Cos- =b,所以tan a+B 2 2 2 a+B a-B b 2cos cos 2 2 §3二倍角的三角函数公式 3.1二倍角公式 白题 基础过关 1.BCD解析：对A,sin15°cos15o= 2sin30°= ,故A错误： 4 对B,os2T 。=cos:=2,故B正确： 对C,tan22.5°1 1m2225。=2tan45°三2，故C正确： 对D,1-2sin222.5°=c0s45°= 经放DE晚 sin12° tan12o-√3 0s1203 2.-8解析：m12°-2sim120sn12(1-2sin212) sin12°-√3cos12o -4sin24c0s24-8, sin12°c0s12°c0s24°1 2sin24°c0s240 黑白题0502.4积化和差与和差化积公式 电子错题本 白题 基础过关 限时：25min 题组1给角求值 题组3公式的应用 1.·(2025·四川成都高一月考)7.★(2024·山东临沂高一月考)函数y= sin40°-sin20° ( c0s40°-c0s20° i血(+写)+in(x-写)的最大值是（） 3 A.2 B.1 A.-√3 B.- 2 1 C.2 D.√3 D.√3 8.*(2025·重庆长寿区高一期末)已知函数 2.*sin37.5c0s7.5°= f(x)=sin3x-2sin(2x+p)cos（x-p),p∈ B岭 4 (0,m),且f(牙）=1，则9 C.2*1 聘 9.*(2024·河南南阳高一月考)设 4 sina+sinB=a,cosa+cosB=b(b≠0)，求 3.*(2025·辽宁抚顺高一期中)sin14°+ tan sin46°-cos16的值为 p的值。 2 4.*计算：c0s20°c0s40°-cos40°cos80°+ c0s80°c0s20°= 题组2给值求值 5若a+星)m-3)- 3 则sin2a等于 B.、4 3 6.*(2025·湖南长沙高一期末)已知α∈ (-5受)，8e(-受)，且ma+sa= sinB-cosB,则 ( Ae6-月 B.B-a= 2 ca8=号 D.a+B=-π 2 第四章黑白题081 §3二倍角的三角函数公式 3.1二倍角公式 白题 基础过关 限时：25mim 题组1给角求值 7.*(2025·广东深圳高一期中)化简 1.·(多选)以下化简正确的有 sin2(-石)+sn(a+g）-sina的结 A.sin15cos15°=2 1 果是 B.cos2 8sin2m、V2 8.*苏教教材习题证明下列恒等式： 82 (1)1 1 1 G tan22.5°1 tan 0 tan 20 sin 20 1-tam222.5°2 1+sin 20-cos 20 (2) =tan 0. D.1-2sin22.5°=y2 1+sin 20+cos 20 2 2.*(2025·河北邢台高一月考) tan12-√/3 sin12°-2sin312° 题组2条件求值 3.·(2025·江西九江高一期末)已知(1,2) 是角a终边上一点，则tan2a= ( 重难聚焦 3 C.4 4 0. 题组4倍角公式的综合应用 9.*4(2025·山西晋中高一月考) 4.*(2025·江西南昌高一期中)若c0sa- 在△ABC中，角A,B,C对的边分 -5 =3,则sin2a= 别为a古8分 则△ABC的形状为 B 3 3 D.、 ( 3 A.等边三角形 B.直角三角形 5.*(2025·辽宁省实验中学高一期中)已知 C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 tan 2,cos 2a+8sina 的值为 10.*(2025·湖南长沙高一月考)函数 sin 20 题组3 利用倍角公式化简、证明 f(x)=cos2x·tanx的最小正周期 是 6.·(2025·湖北武汉高一期中)若0<@< T 4 11.**(2025·江苏徐州高一月 考)若关于x的方程cos2x+ 则 1 11 cos 4a ( 22N22 cosx=m有解，则实数m的取值范围 是 A.sin a B.-sin a C.cos a D.-cos a 必修第二册·BS黑白题082