第4章 §2 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．＝ (　　) A．－ B．1 C． D．2 解析：选A.原式＝ ＝ ＝＝－. 故选A. 2．若＝，则tan (α＋)＝ (　　) A．－ B． C．－2 D．2 解析：选B.由＝＝＝tan .故选B. 3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边过点P(－3，1)，则sin ＝ (　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.因为角θ的终边过点P(－3，1)，所以sin θ＝＝，cos θ＝＝－，所以sin ＝sin cos θ－cos sin θ＝×－×＝－.故选A. 4．已知tan α＝2，tan (α＋β)＝－1，则＝ (　　) A． B． C．2 D． 解析：选D.由题tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝3， 所以＝＝＝＝.故选D. 5．(2025·南阳月考)著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．经研究，黄金分割比t＝≈0.618还可以表示成2sin 18°，则＋tan 12°＝ (　　) A．4 B．2 C．1 D． 解析：选C.由题意知，t＝2sin 18°，则＋tan 12°＝＝ ＝ ＝＝1. 6．(多选)已知锐角α，β满足＝sin (2α＋β)，则下列选项正确的是 (　　) A．sin 2α＝sin β B．sin 2α＝cos β C．cos 2α＝sin β D．cos 2α＝－cos β 解析：选BC.由题意，得sin [(2α＋β)＋α]＝sin (2α＋β)cos α＋cos (2α＋β)sin α＝sin (2α＋β)cos α，所以cos (2α＋β)sin α＝0.又α，β是锐角，故sin α≠0，所以cos (2α＋β)＝0，因为0<2α＋β<，所以2α＋β＝，即2α＝－β，所以sin 2α＝cos β，cos 2α＝sin β.故选BC. 7．＝________． 解析： ＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 答案： 8．计算：tan 73°－tan 193°－tan 73°tan 13°＝____________． 解析：原式＝tan 73°－tan 13°－tan 73°·tan 13°＝tan (73°－13°)(1＋tan 73°tan 13°)－tan 73°tan 13°＝. 答案： 9．已知角α，β满足0<α<，<β<，cos (＋α)＝，sin (＋β)＝，则sin (α－β)＝________． 解析：因为0<α<，则<α＋<， 因为<β<，则<β＋<π， 所以sin (＋α)＝ ＝，cos(＋β)＝－ ＝－， 则sin(α－β)＝sin ＝sin (α＋)·cos (β＋)－cos (α＋)sin (β＋) ＝×(－)－×＝－. 答案：－ 10．(13分)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，)，角α的终边逆时针旋转得到角β的终边．求： (1)tan β的值；(6分) (2)sin (α－β)的值．(7分) 解：(1)由题意，tan α＝－，β＝α＋， 所以tan β＝tan (α＋)＝ ＝＝－. (2)因为OP＝＝1，则sin α＝，cos α＝－. sin β＝sin (α＋)＝(sin α＋cos α)＝， cos β＝cos (α＋)＝(cos α－sin α)＝－，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×(－)－(－)×＝－. 11．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为 (　　) A． B． C．或 D．或 解析：选A.由题知 由①2＋②2得9＋16＋24sin (A＋B)＝37， 则sin (A＋B)＝，所以在△ABC中，sin C＝，所以C＝或C＝.若C＝，则A＋B＝，又1－3cos A＝4sin B>0，所以cos A<，又<，所以A>，不符合题意．所以C＝.故选A. 12．(多选)已知α∈(，π)，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若sin (α＋)＝－，则下列点在角α的终边上的是 (　　) A．(－3，4) B．(－4，3) C．(－6，8) D．(－8，6) 解析：选BD.因为α∈(，π)，所以α＋∈(，)，则cos (α＋)＝－，即tan (α＋)＝，所以tan α＝tan [(α＋)－]＝＝－，选项A，C中，tan α＝－，故A，C不符合题意；选项B，D中，tan α＝－，故B，D符合题意．故选BD. 13．在△ABC中，tan B＝4tan A，则当B－A取最大值时，sin C＝________． 解析：由在△ABC中，tan B＝4tan A， 知tan A>0，0<B－A<，0<A＋B<π， tan (B－A)＝＝＝≤， 当且仅当4tan2A＝1，即tanA＝时取等号， 因为y＝tan x在(0，)上单调递增，所以当tan A＝时B－A取最大值，且tan B＝2， 所以tan A tan B＝＝1， 即sin A sin B＝cos A cos B，得cos (A＋B)＝0， 所以A＋B＝，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C＝1，所以 sin C＝1. 答案：1 14．(13分)(1)已知角α，β∈(0，π)，tan (α＋β)＝，cos β＝，求tan (2α＋β)的值；(6分) (2)已知＜α＜，0＜β＜，且cos (－α)＝，sin (＋β)＝，求sin (α＋β)的值．(7分) 解：(1)因为角α，β∈(0，π)，由cos β＝得sin β＝＝，则tanβ＝＝， 所以tan α＝tan [(α＋β)－β] ＝＝＝， 所以tan (2α＋β)＝tan [(α＋β)＋α] ＝＝＝1. (2)因为＜α＜，所以－＜－α＜－， 则－＜－α＜0， 所以sin (－α)＝－＝－， 又因为0＜β＜，所以＜β＋＜， 所以cos(＋β)＝＝， 所以sin(α＋β)＝sin [(＋β)－(－α)]＝sin (＋β)cos (－α)－cos (＋β)sin (－α) ＝×＋×＝. 15．(13分)是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在锐角α，β使得①α＋2β＝， ②tan tan β＝2－同时成立． 由①得＋β＝， 所以tan ＝＝. 又因为tan tan β＝2－， 所以tan ＋tan β＝3－. 因为tan ，tan β可以看成方程 x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，设方程的两根分别为x1，x2， 解得x1＝1，x2＝2－. 若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾． 若tan ＝2－，tan β＝1， 则β＝，又因为＋β＝，所以α＝. 综上，满足条件的α，β存在，且α＝，β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $