4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．sin 15°＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.sin 15°＝cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45° ＝×－×＝.故选B. 2．已知锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.因为α，β为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝，sin (α＋β)＝.所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.故选A. 3．化简cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝(　　) A．cos β B．cos α C．cos (2α－β) D．cos (α－2β) 解析：选B.cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝cos [(α－β)＋β]＝cos α.故选B. 4．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则2α＋β的值为(　　) A． B．π C． D． 解析：选B.因为α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，且sin2α＋cos2α＝1， 所以sinα＝，cos α＝，sin (α＋β)＝， 所以cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]＝cos α·cos (α＋β)－sin αsin (α＋β)＝×－×＝－1，又2α＋β∈，所以2α＋β＝π.故选B. 5．(多选)满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 解析：选BD.因为cos αcos β＝－sin α·sin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝.当α＝，β＝时，可得α－β＝，cos (α－β)＝，所以A不符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝， cos (α－β)＝，所以B符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝， cos (α－β)＝，所以C不符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝－，cos (α－β)＝，所以D符合题意．故选BD. 6.(多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为(，)和(－，)，则以下结论正确的是(　　) A．cos α＝ B．cos β＝ C．cos (α＋β)＝0 D．cos (α－β)＝0 解析：选AD.由三角函数的定义可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，A正确，B错误；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×(－)－×＝－，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝0，C错误，D正确．故选AD. 7．已知sin α＝，α是第二象限角，则tan α＝______，cos (α＋60°)＝____________． 解析：因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－， cos (α＋60°)＝cos αcos 60°－sin αsin 60°＝－×－×＝. 答案：－　 8．化简：cos 80°cos 140°－sin 100°sin 140°＝_________________. 解析：原式＝cos 80°cos 140°－sin 80°sin 140° ＝cos(140°＋80°)＝cos 220°＝－cos 40° 答案：－cos 40° 9．已知sin ＝，α∈，则cos ＝________． 解析：由α∈，得α＋∈. 因为sin ＝＜，所以α＋∈，则cos ＝－， cos ＝cos ＝cos cos －sin sin ＝－×－×＝. 答案： 10．已知sin α＝，sin (α＋β)＝，0＜β＜＜α＜π.求： (1)cos (α－)； (2)cos (β＋). 解：(1)因为＜α＜π， 则cos α＝－＝－， 所以cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝－×＋×＝. (2)由(1)可得，cos ＝，因为<α<π，所以＜α－＜，所以sin (α－)＝ ＝. 因为0＜β＜＜α＜π，则α＋β∈(，)， 可得cos(α＋β)＝－＝－. 所以cos(β＋)＝cos [(α＋β)－(α－)]＝cos (α＋β)cos (α－)＋sin (α＋β)sin (α－)＝－×＋×＝. 11．(多选)在△ABC中，sin A＝，sin B＝，则cos (A＋B)的值可能为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选BC.在△ABC中，sin A＝>sin B＝，即A>B，所以cos A＝±，cos B＝. 当cos A＝，cos B＝时， cos (A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝×－×＝； 当cos A＝－，cos B＝时，cos (A＋B)＝cos Acos B－sin A sin B＝－×－×＝－.故选BC. 12．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列结论中正确的是(　　) A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 解析：选AC.由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β. 两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，所以－2cos (β－α)＝－1， 所以cos (β－α)＝，所以A正确，B错误； 因为α，β，γ∈， 所以sin γ＝sin β－sin α＞0，所以β＞α， 所以β－α＝，所以C正确，D错误．故选AC. 13．化简：＝____________． 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 答案： 14．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求证：a⊥b； (2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求cos (α－β)的值. 解：(1)证明：a－b＝(cos α－cos β， sin α－sin β)，故|a－b| ＝＝， 即cos2α－2cosαcos β＋cos2β＋sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝2，化简得cosαcos β＋sin αsin β＝0， 即a·b＝0，故a⊥b. (2)a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)， 所以 两式平方相加得cos2α＋sin2α＋cos2β＋sin2β＋2cosαcos β＋2sin αsin β＝1， 故cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)＝－. 15．若0＜α＜，－＜β＜0，cos (α＋)＝，cos (－)＝，则cos (α＋)＝________． 解析：因为0＜α＜，－＜β＜0， 所以＜α＋＜，＜－＜， 因为cos (α＋)＝，cos (－)＝， 所以sin (α＋)＝ ＝，sin (－)＝ ＝，所以cos (α＋)＝cos [(α＋)－(－)] ＝cos (α＋)cos (－)＋sin (α＋)sin (－)＝×＋×＝. 答案： 16．已知cos (2α－β)＝－，sin (α－2β)＝，且＜α＜，0＜β＜，求α＋β的值． 解：因为＜α＜，0＜β＜， 所以＜2α－β＜π. 因为cos (2α－β)＝－＜0， 所以＜2α－β＜π， 所以sin (2α－β)＝. 因为＜α＜，0＜β＜， 所以－＜α－2β＜. 因为sin (α－2β)＝＞0， 所以0＜α－2β＜， 所以cos (α－2β)＝， 所以cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)] ＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β)＝－×＋×＝0. 因为＜α＜，0＜β＜， 所以＜α＋β＜，所以α＋β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $