第4章 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 　　 1.sin 15°的值是（　　） A. B. C. D. 2.cos 72°cos 12°＋cos 18°cos 78°＝（　　） A.cos 84° B.sin 84° C.0 D. 3.如图，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则·＝（　　） A.sin（α－β） B.sin（α＋β） C.cos（α－β） D.cos（α＋β） 4.已知α，β为钝角，cos α＝－，sin β＝，则α＋β＝（　　） A. B. C. D. 5.已知cos αcos β＝，cos（α－β）＝，则cos（α＋β）＝（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕已知sin α＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则下列结论正确的有（　　） A.cos（α－β）＝－ B.cos（α－β）＝ C.cos α＝ D.β＝ 7.已知α，β均为锐角，若cos αcos β＝＋sin αsin β，则α＋β＝　　　　. 8.化简＝　　　　. 9.在△ABC中，cos A＝，且cos B＝，则cos C＝　　　　. 10.已知cos（＋α）＝－，sin（β＋）＝，α∈（0，），β∈（，），求cos（α＋β）的值. 11.如图，古希腊的数学家特埃特图斯通过图形来构造无理数，，，….记∠BAC＝α，∠DAC＝β，则cos（α＋β）＝（　　） A.－ B.－ C.＋ D.＋ 12.若α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α－β）＝，则cos β＝（　　） A. B. C.或－ D.或 13.若cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos（α－β）＝　　　　. 14.已知cos（α－β）＝－，cos（α＋β）＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值. 15.人脸识别是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，定义余弦相似度为cos（A，B）＝cos ＜，＞，余弦距离为1－cos（A，B）.已知P（cos α，sin α），Q（cos β，sin β），R（cos α，－sin α），若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且0＜α＜β＜，则cos 2α＝（　　） A. B. C. D. 16.已知函数f（x）＝2cos（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π. （1）求ω的值； （2）设α，β∈［0，］，f（ 5α＋）＝－，f（ 5β－）＝，求cos（α－β）的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 1.C　sin 15°＝cos 75°＝cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝×－×＝.故选C. 2.D　cos 72°cos 12°＋cos 18°cos 78°＝cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos（72°－12°）＝cos 60°＝.故选D. 3.C　根据题意角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则A（cos α，sin α），B（cos β，sin β），则·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β）.故选C. 4.D　由于α，β为钝角，cos α＝－，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝－，所以cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－）×（－）－×＝，又α∈（，π），β∈（，π），所以α＋β∈（π，2π），所以α＋β＝. 5.A　因为cos αcos β＝，所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋sin αsin β＝，所以sin αsin β＝，所以cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝. 6.BCD　因为α，β均为锐角，所以－＜α－β＜.又sin（α－β）＝－，所以cos（α－β）＝.故A错误，B正确；又sin α＝，所以cos α＝，所以C正确；cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×＝，所以β＝.故D正确. 7.　解析：由已知cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝. 8.　解析：原式＝＝＝. 9.　解析：因为在△ABC中，cos A＝，可知A为锐角，所以sin A＝＝.因为cos B＝，可知B也为锐角，所以sin B＝＝.所以cos C＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝sin Asin B－cos Acos B＝×－×＝. 10.解：由α∈（0，），可得＋α∈（，π），又cos（＋α）＝－，所以sin（＋α）＝. 由β∈（，），可得β＋∈（，π）， 又sin（β＋）＝，所以cos（β＋）＝－， 所以cos（α＋β）＝－cos［（＋α）＋（β＋）］＝－［cos（＋α）cos（β＋）－sin（＋α）sin（β＋）］＝－［（－）×（－）－×］＝－. 11.B　由题图可知cos α＝，sin α＝，cos β＝＝，sin β＝＝，所以cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. 12.A　因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α－β）＝，所以sin α＝，cos（α－β）＝，从而cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×＝，故选A. 13.　解析：由已知得cos α－cos β＝， ① sin α－sin β＝－. ② ①2＋②2得（cos α－cos β）2＋（sin α－sin β）2＝＋，即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，所以cos αcos β＋sin αsin β＝×＝，所以cos（α－β）＝. 14.解：由α－β∈，且cos（α－β）＝－，得sin（α－β）＝. 由α＋β∈，且cos（α＋β）＝， 得sin（α＋β）＝－. ∴cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）] ＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）·sin（α－β） ＝×＋×＝－1. 又∵α＋β∈，α－β∈， ∴2β∈. ∴2β＝π，则β＝. 15.C　由题意可得＝（cos α，sin α），＝（cos β，sin β），所以cos （P，Q）＝＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β），又1－cos（α－β）＝ ，所以cos（α－β）＝.同理可得cos（Q，R）＝cos（α＋β），所以1－cos（α＋β）＝，则cos（α＋β）＝.因为0＜α＜β＜， 所以0＜α＋β＜π，－＜α－β＜0，所以sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝－，所以cos 2α＝cos（α＋β＋α－β）＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）＝×－×（－）＝.故选C. 16.解：（1）因为函数f（x）的最小正周期为10π，所以10π＝，所以ω＝. （2）由（1）知f（x）＝2cos（x＋），因为f（5α＋）＝－， 所以2cos ＝2cos＝－，所以sin α＝. 又因为f＝， 所以2cos ＝2cos β＝，所以cos β＝. 因为α，β∈， 所以cos α＝，sin β＝， 所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $