第2章 章末综合检测(二)平面向量及其应用（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列结论中正确的是(　　) A．－＝ B．＋＝0 C．0·＝0 D．＋＋＝ 解析：选D．－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.故选D． 2．已知平面向量a，b满足a＝(1，x)，b＝(2，1)，若(a－b)⊥b，则x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B．由a＝(1，x)，b＝(2，1)，得a·b＝2＋x，b2＝5，由(a－b)⊥b，得a·b－b2＝0，即2＋x－5＝0，解得x＝3.故选B． 3．已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为，则|a＋2b|＝(　　) A．8 B．10 C． D．2 解析：选C．因为|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为，所以a·b＝1，所以(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10，所以|a＋2b|＝.故选C． 4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：选D．作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°.故选D． 5．某人从出发点A向正东方向走x m后到B，然后从B点向北偏西60°方向走3 m到C，测得△ABC的面积为 m2，则此人这时离出发点的距离为(　　) A．3 m B． m C．2 m D． m 解析：选D．如图，由题意可得∠ABC＝30°，因为△ABC的面积为 m2，BC＝3 m，AB＝x m，所以S△ABC＝AB·BC sin ∠ABC＝x＝，解得x＝，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝3＋9－2××3×＝3，所以AC＝ m，故选D． 6．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是(　　) A．(－3，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0) 解析：选C．设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1). ·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3，0).故选C． 7．已知Rt△ABO的面积为4，O为直角顶点，设向量a＝，向量b＝，向量＝a＋2b，则·的最大值为(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 解析：选B．由题知，以O为原点，OA，OB分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 设A(m，0)，B(0，n)，且m>0，n>0，则mn＝8， 则a＝＝(1，0)，b＝＝(0，1)，＝a＋2b＝(1，2)， 所以P(1，2)，＝(m－1，－2)，＝(－1，n－2)，所以·＝5－(m＋2n)≤5－2＝－3， 当且仅当m＝2n，即n＝2，m＝4时取等号． 故·的最大值为－3. 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，b＝4，sin C＝2sin B cos B，则△ABC的面积为(　　) (附：sin2α＋cos2α＝1) A． B． C．3 D．2 解析：选C．因为＝，sin C＝2sin B cos B， 所以c＝＝＝2b cos B，即cos B＝，由余弦定理的推论得cos B＝＝，解得c＝2，所以cos B＝， 因为B∈(0，π)，所以sin B＝＝＝， 所以S△ABC＝ac sinB＝×6×2×＝3. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于非零向量a，b的说法中，正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a＝－b，则a∥b C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．若|a|>|b|，则a>b 解析：选BC．对于A，两个非零向量的模相等，可能方向不相同，所以A错误；对于B，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B正确；对于C，非零向量a，b，若a∥b，b∥c，则a∥c成立，所以C正确；对于D，向量不能比较大小，所以D错误． 10．如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，＝m，＝n，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则(　　) A．＋＝3 B．＝mn C．≥ D．≤ 解析：选ABC．连接AG(图略)，由D，G，E三点共线，得＝λ＋(1－λ)， 又＝m，＝n，m＞0，n＞0， 所以＝λm＋(1－λ)n， 又点G为△ABC的重心， 所以＝(＋)， 所以λm＝，(1－λ)n＝，则＋＝3λ＋3(1－λ)＝3，即选项A正确； S1＝||·||sin ∠BAC＝mn||·||·sin ∠BAC，S2＝||||sin ∠BAC， 则＝mn，即选项B正确；＝＝－1＝－1≤()2－1＝，当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立， 则≥，即选项C正确，D错误．故选ABC． 11．在△ABC中，A＝60°，周长为10，面积为，则(　　) A．△ABC为钝角三角形 B．AB＋AC＝ C．BC＝ D．BC边上的高为2 解析：选BC．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＋b＋c＝10，① S△ABC＝bc sin 60°＝bc＝，解得bc＝10，② 再根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°，得a2＝b2＋c2－bc，③ 由①②③解得a＝，所以C正确； b＋c＝10－a＝10－＝，所以B正确； 设BC边上的高为h，则××h＝，得h＝，所以D错误； 由得或 可知4为最长边，最长边所对的角最大，设为α，60°<α<120°， 所以cos α＝＝＞0，则α为锐角，所以△ABC为锐角三角形，A错误．故选BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知单位向量e满足|a－e|＝|a＋2e|，则向量a在e方向上的投影数量为________． 解析：由|a－e|＝|a＋2e|得(a－e)2＝(a＋2e)2，于是|a|2－2a·e＋1＝|a|2＋4a·e＋4，解得a·e＝－，于是向量a在e方向上的投影数量为＝－. 答案：－ 13．若向量a≠0，b≠，且|a|＝|b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b的夹角是__________．(用弧度表示) 解析：设＝a，＝b，以OA, OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝，因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以||＝||＝||，所以△OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形，所以∠BOA＝.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b的夹角为. 答案： 14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a cos B＝b cos ∠BAC，M是BC的中点，若AM＝4，则b＋c的最大值为________． 解析：因为a cos B＝b cos ∠BAC，所以a·＝b·，所以a＝b.在△AMC中，b2＝＋16－2··4cos ∠AMC，①在△AMB中，c2＝＋16－2··4cos ∠AMB，②因为∠AMC＋∠AMB＝π，所以cos ∠AMC＝－cos ∠AMB，①＋②可得b2＋c2＝＋32，又因为a＝b，所以b2＋c2＝32，即(b＋c)2－bc＝32，所以(b＋c)2＝bc＋32≤()2＋32，令t＝b＋c，则t2≤＋32，即t2≤32，解得－8≤t≤8，又因为t>0，所以0<t≤8，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，则b＋c的最大值为8. 答案：8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，). (1)求点B，C的坐标；(6分) (2)求证：四边形OABC为等腰梯形．(7分) 解：(1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)， 则xB＝||＋||·cos (π－∠OAB)＝，yB＝||·sin (π－∠OAB)＝， 所以＝＋＝＋(－1，)＝，所以B，C. (2)证明：因为＝，＝，所以＝3，所以∥，即OC∥AB.又易知OA与BC不平行，||＝||＝2，所以四边形OABC为等腰梯形． 16．(本小题满分15分)在①分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＋S3－S2＝ac；②(＋)·＝S△ABC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________． (1)求角B；(7分) (2)已知a＝4，当取最小值时，求△ABC内切圆的半径．(8分) 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)选①：依题意得 S1＝a2sin 60°＝a2， S2＝b2sin 60°＝b2， S3＝c2sin 60°＝c2， 则S1＋S3－S2＝ac＝a2＋c2－b2，即ac＝a2＋c2－b2， 结合余弦定理的推论得 cos B＝＝， 又因为B∈(0，π)，所以B＝. 选②：由(＋)·＝S△ABC， 得·＝S△ABC， 即·＝S△ABC， 所以ca cos B＝×ac sin B＝， 所以tan B＝＝，又因为B∈(0，π)， 所以B＝. (2)因为a＝4，B＝， 所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝16＋c2－4c， 所以＝c＋－4≥2－4＝6，当且仅当c＝，即c＝5时，等号成立， 此时b2＝16＋c2－4c＝21，所以b＝， 易得S△ABC＝ac sin B＝×4×5×＝5. 设△ABC内切圆的半径为r， 则S△ABC＝(a＋b＋c)r， 所以r＝＝. 17．(本小题满分15分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和；(4分) (2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；(4分) (3)确定点P在边BC上的位置．(7分) 解：(1)因为＝， 所以＝＋＝－＋. 因为＝， 所以＝＋＝－. (2)将＝－＋，＝－， 代入＝＋λ＝＋μ，则有＋λ＝＋μ，即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)·，因为，不共线， 所以解得 (3)设＝m(0<m<1)，＝n(n>1). 由(2)知＝＋， 所以＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m， 所以解得 所以＝，即＝2， 所以点P在BC靠近点C的三等分点处． 18．(本小题满分17分)如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里的B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(－1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时15海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；(8分) (2)试确定缉毒船的行驶方向．(9分) 解：(1)设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，由题意可知∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°， AB＝60，AC＝15t，BC＝15(－1)t， 由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC， 即(15t)2＝602＋[15(－1)t]2－2×60×15(－1)t×， 整理可得(t－2)[(＋1)t＋4]＝0，解得t＝2， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕． (2)由(1)可知∠ABC＝120°，AB＝60，AC＝30，在△ABC中，由正弦定理 ＝可得 sin ∠ACB＝＝＝， 且∠ACB为锐角，则∠ACB＝45°，可得∠BAC＝180°－120°－45°＝15°，所以缉毒船的行驶方向为北偏东75°－15°＝60°. 19．(本小题满分17分)如图，设六边形ABCDEF是半径为1的圆O的内接正六边形，M是圆O上的动点． (1)求|＋－|的最大值；(5分) (2)求证：2＋2为定值；(6分) (3)对于平面中的点P，存在实数x与y，使得＝x＋y，若点P是正六边形ABCDEF内的动点(包含边界)，求x－y的最小值．(6分) 解：(1)因为M在圆O上运动， 所以|＋－|＝|－|＝||≤||＝2. 故|＋－|的最大值为2. (2)证明：易知AD是圆O的直径，又M为圆O上的动点，圆O的半径为1， 所以MA2＋MD2＝AD2＝4， 故2＋2＝||2＋||2＝MA2＋MD2＝4.故2＋2为定值4. (3)以O为原点，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则E(，－)， F(，)， 则＝x＋y＝x(，－)＋y(，)＝((x＋y)，(y－x))， 故P((x＋y)，(y－x))， 要使x－y最小，只需使y－x最大，即点P的纵坐标最大，由点P在正六边形上及其内部运动，得(y－x)max＝1，(y－x)min＝－1， 所以－2≤y－x≤2，从而－2≤x－y≤2， 即x－y的最小值为－2. 学科网（北京）股份有限公司 $