第2章 §6 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AC∩BD＝O，则·＝(　　) A．－8 B．－4 C．4 D．8 解析：选A．由平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，得·＝·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝×(9－25)＝－8. 2．已知一个物体在三个力F1＝(0，1)，F2＝(－1，－3)，F3的作用下，处于静止状态，则F3＝(　　) A．(－1，－2) B．(1，2) C．(2，1) D．(－2，1) 解析：选B．因为该物体静止，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，又因为F1＋F2＝(0，1)＋(－1，－3)＝(－1，－2)，所以F3＝－(F1＋F2)＝(1，2). 3．(2025·宜春月考)已知△ABC的三个顶点分别是A(－1，0)，B(1，0)，C(，)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 解析：选B．易知＝(，)，＝(－，)， 可得·＝×(－)＋×＝0，即⊥，且||＝≠||＝1， 所以△ABC是直角三角形． 4．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是50 m/s，则鹰的飞行速度为(　　) A． m/s B． m/s C． m/s D． m/s 解析：选C．如图所示，由题意知||＝50，所以||＝＝.故选C． 5．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　) A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s 解析：选B．由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图． 所以|v|＝＝＝2(m/s). 6．(多选)已知点O为△ABC外接圆的圆心，||＝6，∠OAC＝30°，则(　　) A．OC＝ B．OC＝2 C．·＝6 D．·＝－6 解析：选BD．令OC＝2t，则由勾股定理易得(2t)2＝t2＋()2，所以t＝－ (舍去)或t＝，所以OC＝2，所以·＝||·||cos ∠AOC＝2×2×cos (180°－60°)＝－6.故选BD． 7．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，若·＝6，则AP＝________． 解析：平行四边形ABCD中，设AC与BD交于点O，则AO＝OC， 因为·＝6， 所以·＝3， 根据向量的几何意义可知·＝2＝3，解得AP＝||＝. 答案： 8．某人从点O向正东方向走30 m到达点A，再向正北方向走30 m到达点B，则此人位移的大小是________m，方向是北偏东________． 解析：如图所示，此人的位移＝＋，且⊥， 所以||＝ ＝ ＝＝60(m)， 又tan ∠BOA＝＝＝， 0°<∠BOA<180°，所以∠BOA＝60°， 所以的方向为北偏东30°. 答案：60　30° 9．如图，已知＝(2，0)，＝(1，)，将绕着B点按逆时针方向旋转60°，且模伸长到模的2倍，得到向量.则四边形AOBC的面积为________． 解析：因为＝(1，)，所以tan ∠BOA＝＝，又0°<∠BOA<90°，所以∠BOA＝60°， 因为||＝＝2，||＝2， 所以△BOA为等边三角形，所以S△BOA＝×2×2×sin 60°＝， 对于△ABC，||＝2||＝4，∠ABC＝60°，所以S△ABC＝×2×4×sin 60°＝2， 所以四边形AOBC的面积为S△BOA＋S△ABC＝＋2＝3. 答案：3 10．(13分)在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)(且ab≠0)，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心． (1)求重心E的坐标；(5分) (2)用向量法证明：CD⊥EF.(8分) 解：(1)如图，因为A(0，b)， B(－a，0)，C(a，0)， 所以D(－，)，则由重心坐标公式，得E(，). (2)证明：由(1)得＝(－，)， 易知△ABC的外心F在y轴上，可设为(0，y). 由||＝||，得(y－b)2＝(－a)2＋y2， 所以y＝，即F(0，). 所以＝(－，－). 所以·＝(－)×(－)＋×(－)＝0，所以⊥，即CD⊥EF. 11．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必通过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 解析：选C．设线段BC中点为D，则＋＝2.因为2－2＝2·，所以(＋)·(－)＝2·，所以·(＋－2)＝0，所以·2＝0，所以MD⊥BC且平分BC，所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心．故选C． 12．已知△ABC是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选B．如图以C为原点CB，CA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)，因为△ABC是斜边长为2的等腰直角三角形， 所以A(0，)，B(，0)， 所以＝(－x，－y)，＝(－x，－y)，＝(－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，故·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2－x＋2y2－2y＝2＋2－≥－，所以·(＋)的最小值为－. 13．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2的夹角为120°，且F1，F2的大小都为6 N，则F3的大小为________N. 解析：设三个力F1，F2，F3分别对应的向量为a，b，c，则由题知a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)，所以|c|＝|－(a＋b)|＝，又 |a|＝6，|b|＝6，a·b＝|a||b|cos 120°＝6×6×(－)＝－18，所以|c|＝＝6，所以F3的大小为6 N. 答案：6 14．(13分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向． 解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，风的方向为北偏东30°，速度大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度大小为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v km/h，则v＝v1＋v2. 由题意，可得v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10)，v2＝(20，0)， 则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20，0)＝(30，10)， 所以|v|＝＝20(km/h). 因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)，所以α＝30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h. 15．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)在△ABC中，若A(1，1)，B(3，5)，C(2，6)，求△ABC的重心G的坐标；(5分) (2)如图所示，在非等腰的锐角三角形ABC中，已知点H是△ABC的垂心，点O是△ABC的外心．若点M是BC的中点，求证：OM綊AH.(10分) 解：(1)若记坐标原点为O，由点G是△ABC的重心，有＋＋＝0，从而(－)＋(－)＋(－)＝0， 整理得＝(＋＋)＝(2，4)，所以△ABC的重心G的坐标为(2，4). (2)证明：因为AH⊥BC，OM⊥BC，有AH∥OM，因为＝(＋)， 设＝λ(＋)， 由BH⊥AC可得·＝0， 所以(－)·＝0，所以[λ(＋)－(－)]·(－)＝0. 因为2＝2，从而(λ－1)(·－·＋2－·)＝0， 即(λ－1)[·(－)＋(－)·]＝0，所以(λ－1)·＝0， 易知·＝0不成立，故λ－1＝0，即λ＝1， 此时＝＋＝2，即OM綊AH. 学科网（北京）股份有限公司 $