专题02 平面向量共线定理与平面向量基本定理6大题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题02 平面向量共线定理与平面向量基本定理 题型一：平面向量共线定理与基本定理概念及辨析 题型二：向量共线定理求参数、判定/证明共线 题型三：平面向量共线定理推论及应用 题型四：平面基本定理基底唯一性求系数 题型五：用指定基底表示未知向量 题型六：平面向量与等分点、中点、重心向量问题 题型一：平面向量共线定理与基本定理概念及辨析 1．(25-26高一下·河南许昌襄城县实验高级中学等校·)若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底； 选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底； 选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底； 选项D：假设两向量共线，则存在实数， 使得，即， 若是基底，故不共线， 系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立， 故两向量不共线，可以作为基底． 2．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·)下列命题中，正确的命题个数是（   ） ①若，则一定存在唯一的实数λ，使得； ②若，则； ③； ④若，可以组成平面向量的一个基，则，可以组成平面向量的一个基． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】取分析说明①②，利用向量数量积及向量模的性质判断③，利用向量共线基本定理验证向量是否共线即可判断④. 【详解】①当时，若，则， 但此时对任意实数都成立， 此时不唯一，所以①错误； ②当时，，此时与不一定相等，故②错误； ③， 其中不一定为1，所以③错误； ④若向量，可以组成平面向量的一个基底，则向量，不共线， 设向量，共线， 则存在实数，使得 因为向量，不共线， 所以，方程组无解， 所以不存在实数，所以，亦不共线， 所以，可以组成平面向量的一个基，所以④正确； 故选：A． 3．(24-25高一下·甘肃酒泉四校联考·期中)若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（    ） ①和 ②和 ③和 ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可. 【详解】对于①，，①不是； 对于②，由，得和不共线，②是； 对于③，由，得和不共线，③是； 对于④，，④不是， 因此可以作为一组基底向量的为②③. 故选：B 4．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【详解】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ， ，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 5．设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 6．(20-21高一下·湖北新高考9N联盟·期中)已知是一组不共线的向量，集合，，则关于集合说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线以及向量基本定理结合集合间的关系得出答案. 【详解】集合表示所有与共线的向量，而集合则表示平面内所有与和共面的向量 故选：B 7．(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 8．(22-23高一下·江西萍乡·期中)下列说法错误的是（    ） A．若，都是单位向量，则 B．在四边形中，若，则四边形是平行四边形 C．若，则 D．若，是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底 【答案】AC 【分析】根据单位向量、向量相等、向量概念、基底等知识确定正确答案. 【详解】A选项，单位向量的方向是任意的，所以不一定相等，所以A选项错误. B选项，在四边形中，若， 则，所以四边形是平行四边形，所以B选项正确. C选项，向量即有大小又有方向，所以向量不能比较大小，所以C选项错误. D选项，由于不存在实数使得， 所以和也能作为一组基，所以D选项正确. 故选：AC 9．(20-21高一下·河北邯郸大名县第一中学·月考)给出以下说法，其中不正确的是（    ） A．若，则； B．若，则存在实数，使； C．若，是非零向量，，那么； D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底. 【答案】BCD 【分析】由向量共线的定义即可知A、B的正误，当，为相反向量时C不成立，根据平面向量基本定理中基底的性质即可知D的正误. 【详解】A：向量的数乘运算的几何意义，正确； B：若，，有，但不存在实数，错误； C：，为相反向量，则，此时，错误； D：平面向量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误. 故选：BCD 10．(23-24高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于B，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底； 对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底； 故选：AC． 题型二：向量共线定理求参数、判定/证明共线 11．(25-26高一·贵州遵义第一中学·月考)设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解. 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 12．(23-24高一下·温州人文高级中学·月考)在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 13．(24-25高一下·重庆第三十中学校·月考)已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理列式求解. 【详解】由，，，得， 由，，三点共线，得存在实数，使得，即， 因此，解得. 故选：C 14．(25-26高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 15．(24-25高三上·广东大湾区（步升联考）·)已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可. 【详解】因为向量，不平行，， 所以存在实数，使得：， 即，解得. 故选：B. 16．(25-26高三上·浙江永嘉中学·)点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 17．(24-25高一下·陕西咸阳武功县普集高级中学·期中)已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 18．(24-25高一下·贵州贵阳北京师范大学贵阳附属中学·月考)设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】BD 【分析】由，可得，即可判断A；得出的关系，即可判断B；将的面积转化为的面积即可判断CD. 【详解】由， 得，故A错误； 对于B，因为分别为中点， 所以， 则， 所以，所以， 又为公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C，由，得， 则， ， 所以，故C错误； 对于D，由C得，故D正确. 故选：BD. 19．(21-22高一下·湖北襄阳宜城第一中学、南漳县第一中学·)有下列说法其中正确的说法为（    ） A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若分别表示的面积，则 【答案】CD 【分析】利用向量的传递性和向量的线性运算及向量共线的充要条件可判断A、B、C项，运用三角形重心向量的表示和性质，结合三角形面积的求法可判断D项. 【详解】对于A项，若，且，则，故A项错误； 对于B项，若，且，则存在唯一实数使得，故B项错误； 对于C项，两个非零向量，若，则与共线且反向，C项正确； 对于D项，因为，整理得 如图所示：    故,所以三点共线；故，, 所以，故，故D项正确. 故选：CD. 20．(23-24高一下·安徽安庆第二中学·期中)已知，是不共线的向量，且，，，若、、三点共线，则______. 【答案】 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由，可得, 由于,,三点共线，则, 故，解得， 故答案为： 题型三：平面向量共线定理推论及应用 21．(25-26高二上·贵州遵义习水县·期末)如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理的推论即可求解. 【详解】因为是上靠近点的四等分点， 所以， 则， 因为三点共线，则， 解得. 故选：A. 22．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 23．(24-25高一下·四川南充高级中学·期中)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（    ）    A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据三点共线结论知，再利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】因为，三点共线，则，， 则， 当且仅当，结合，即，时等号成立. 故选：C. 24．(24-25高一下·广东惠州·期末)如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即，且， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 25．(24-25高一下·贵州遵义第二中学·月考)如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 26．(21-22高一下·四川南充高级中学·月考)已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，由三点共线的充要条件可知，所以，由“乘1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设， 所以， 由题意有，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 27．(23-24高一下·山东实验中学·)在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 因为为线段上一点， 所以， 而点线段上面，所以，故A错，B对， 由基本不等式得，解得，等号成立当且仅当，C对， ，等号成立当且仅当，D对. 故选：BCD. 28．(22-23高一下·江苏南通海安实验中学·)在中，D为AB上一点满足，若P为线段CD上一点，且，（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】AD 【分析】由题设结合三点共线可得，再应用基本不等式及的关系求的最值和的取值范围，利用向量加减、数乘的几何意义求的线性关系． 【详解】由题设，可得，又三点共线，所以， 对于A选项，，又， ∴，故A正确； 对于B选项，由，即知，B错误； 对于C选项，由，为正实数，，则， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D选项，由知，，则， 而， 所以，由得，即，故D正确， 故选：AD． 29．如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则______． 【答案】4 【分析】法一，取平行于边的中位线，求出的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 30．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，点是边上（不包含端点）的动点，若实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据三点共线可得 ，进而通过向量运算得到，与已知联系，可得；而 ，进而利用均值不等式求得最小值. 【详解】因为点是边上（不包含端点），所以,即 ,即, 所以,又已知， 所以，，所以，又由得，； ， 当，时取等号. 故答案为：. 题型四：平面基本定理基底唯一性求系数 31．在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 又，则，故. 32．(25-26高一下·江苏太湖高级中学·)在中，，，与交于，设，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别设，，利用向量的运算法则，求得和，列出方程组，求得，得到，得出的值，即可求解. 【详解】因为，可得点在上，且，所以， 则， 又因为点在上，设，可得， 因为，可得点在上，且，所以， 则， 又因为点在上，设， 可得， 所以，可得，解得， 将代入，可得， 因为，所以，即为. 33．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第九中学·月考)如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 34．(25-26高一下·浙江平阳中学等校·)在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线定理，结合已知条件求出，的值，进而得到的值. 【详解】由题意可知，为中点，，， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以， 设，则， ， 所以，解得，， 则，即， 则. 35．(25-26高一下·辽宁盘锦大洼区·)在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得，，再由，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由平行四边形中，为的中点，可得为的中点， 可得，所以， 又由，可得， 因为点在上，且，可得， 又因为，则， 所以， 因为，所以，所以. 36．(25-26高一·江苏盐城亭湖高级中学·期末)在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 37．(25-26高三上·辽宁辽南协作校·期末)在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分两种情况，分别画出图形，利用平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 故选：BC. 38．(24-25高一下·河北邢台质检测联盟·月考)在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 【答案】BCD 【分析】设，，结合平面向量基本定理得出对应系数关系，计算求解判断各个选项. 【详解】设，， 则 . 因为，所以， 所以，故A错误，B，C，D正确. 故选：BCD. 39．(25-26高一下·湖北黄石云学联盟·)如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求解即得. 【详解】在中，，E为AC中点，得， 由，得，， 由点共线，点共线，得，解得， 所以. 40．(25-26高一上·山东日照·期末)如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又 ，所以，解得m，t． 故答案为：． 题型五：用指定基底表示未知向量 41．(25-26高一下·湖北襄阳第四中学·)如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 42．(25-26高一上·河北唐山第一中学·)在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，得， 所以. 43．(25-26高三·山东青岛即墨区·)中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的运算法则可得答案. 【详解】如图，， 则， 故 . 故选：B 44．(25-26高一上·安徽·期末)在梯形中， ，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 45．(25-26高一上·浙江宁波奉化中学·期末)已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】因为 ， 所以， 即 ， 所以， 故选：C 46．(25-26高一上·辽宁辽阳·期末)如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 47．(25-26高一上·江苏如皋·期末)在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 48．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期末)如图，在正方形中，为上一点，交于，且，为的两个三等分点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算以及三角形相似的性质对选项逐一计算即可求解. 【详解】由题意，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； 因为为上靠近的三等分点，所以， 利用可得； 所以，故D错误. 故选：ABC 49．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】运用向量运算加减法则，结合基本定理得解. 【详解】由题意可得 . 因为是平行四边形，所以，所以， 所以，则A正确，B错误. 因为， 所以，则C正确，D错误. 故选：AC. 50．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·月考)在中，，，分别是边，，的中点，点为的重心，则下述结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可． 【详解】如图： 对于选项A，因为，分别是边，的中点，则，即选项A错误； 对于选项B，因为为中点，则，即选项B正确； 对于选项C，，即选项C正确； 对于选项D，，即，即选项D正确， 故选：BCD． 题型六：平面向量与等分点、中点、重心向量问题 51．(25-26高一·江苏泰州中学·)在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确. 对于B，因为，所以，， 由三点共线可得，. 因为，所以，， 由三点共线可得，. 而，所以有，整理得，故B正确. 对于C，因为，则， 当且仅当，即时取等号，故C正确. 对于D， 因为， 所以， 当且仅当即时取等号.而，故D错误. 52．(25-26高三上·河南湘豫名校联考·月考)如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量的线性运算，将和用、表示，再结合向量数量积的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，点是对角线上靠近点的一个四等分点，所以， 所以， 又点为边的中点，所以， 所以， 又四边形为菱形，所以，， 所以， 又菱形的边长为，， 所以 . 故选：D 53．如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用向量的线性运算求出和，再利用向量的数量积公式即可求出答案. 【详解】由题意得，， ， 所以， 因为，，， 所以，，， 所以. 故选：A. 54．(23-24高一下·四川绵阳·期末)如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】AD 【分析】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD 55．在三角形ABC中，点D足AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则（    ）    A． B． C．的最小值为17 D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的线性运算、共线定理、数量积的运算性质逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 又因为，则， 因为，所以又三点共线，所以，整理得，故B正确； 由可得，所以，因为，当时，，故的最小值不为，故C不正确； 由于，所以，则， 所以又，当且仅当时，等号成立 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 56．(25-26高三·天津和平区·)已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算可用、表示，再利用、、三点共线即可得；利用平面向量夹角公式可得，再借助模长与数量积关系，结合基本不等式计算即可得的最小值. 【详解】，则， 故， 由、、三点共线，可得，解得； 则， 由，则， 故， 则，故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 57．(24-25高三上·北京十一学校·)平行四边形中，，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．    【答案】 【分析】根据向量加减法、数乘的几何意义有 ，应用数量积的运算律展开，即可求值. 【详解】由题设，得如下示意图，，，又，，    所以 . 故答案为：. 58．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________.    【答案】8 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 59．(25-26高三上·河北衡水中学·期中)正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 【答案】 【分析】由是正方形，则以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，由正方形的边长为，写出各点坐标，求出，利用数量积的坐标公式求解. 【详解】是正方形，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 正方形的边长为， ， 是的中点，， 是边上靠近的三等分点，， ，. 故答案为：. 60．(25-26高一上·北京第八中学·期末)在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则______． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得和，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】因为为边上的两个三等分点，可得， 则， ， 所以. 又因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量共线定理与平面向量基本定理 题型一：平面向量共线定理与基本定理概念及辨析 题型二：向量共线定理求参数、判定/证明共线 题型三：平面向量共线定理推论及应用 题型四：平面基本定理基底唯一性求系数 题型五：用指定基底表示未知向量 题型六：平面向量与等分点、中点、重心向量问题 题型一：平面向量共线定理与基本定理概念及辨析 1．(25-26高一下·河南许昌襄城县实验高级中学等校·)若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·)下列命题中，正确的命题个数是（   ） ①若，则一定存在唯一的实数λ，使得； ②若，则； ③； ④若，可以组成平面向量的一个基，则，可以组成平面向量的一个基． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25高一下·甘肃酒泉四校联考·期中)若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（    ） ①和 ②和 ③和 ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 6．(20-21高一下·湖北新高考9N联盟·期中)已知是一组不共线的向量，集合，，则关于集合说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 8．(22-23高一下·江西萍乡·期中)下列说法错误的是（    ） A．若，都是单位向量，则 B．在四边形中，若，则四边形是平行四边形 C．若，则 D．若，是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底 9．(20-21高一下·河北邯郸大名县第一中学·月考)给出以下说法，其中不正确的是（    ） A．若，则； B．若，则存在实数，使； C．若，是非零向量，，那么； D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底. 10．(23-24高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二：向量共线定理求参数、判定/证明共线 11．(25-26高一·贵州遵义第一中学·月考)设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 12．(23-24高一下·温州人文高级中学·月考)在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 13．(24-25高一下·重庆第三十中学校·月考)已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 14．(25-26高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高三上·广东大湾区（步升联考）·)已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 16．(25-26高三上·浙江永嘉中学·)点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一下·陕西咸阳武功县普集高级中学·期中)已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 18．(24-25高一下·贵州贵阳北京师范大学贵阳附属中学·月考)设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 19．(21-22高一下·湖北襄阳宜城第一中学、南漳县第一中学·)有下列说法其中正确的说法为（    ） A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若分别表示的面积，则 20．(23-24高一下·安徽安庆第二中学·期中)已知，是不共线的向量，且，，，若、、三点共线，则______. 题型三：平面向量共线定理推论及应用 21．(25-26高二上·贵州遵义习水县·期末)如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 23．(24-25高一下·四川南充高级中学·期中)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（    ）    A．2 B．8 C．9 D．18 24．(24-25高一下·广东惠州·期末)如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．(24-25高一下·贵州遵义第二中学·月考)如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 26．(21-22高一下·四川南充高级中学·月考)已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 27．(23-24高一下·山东实验中学·)在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 28．(22-23高一下·江苏南通海安实验中学·)在中，D为AB上一点满足，若P为线段CD上一点，且，（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 29．如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则______． 30．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，点是边上（不包含端点）的动点，若实数，满足，则的最小值为___________. 题型四：平面基本定理基底唯一性求系数 31．在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 32．(25-26高一下·江苏太湖高级中学·)在中，，，与交于，设，且，则为（    ） A． B． C． D． 33．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第九中学·月考)如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 34．(25-26高一下·浙江平阳中学等校·)在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 35．(25-26高一下·辽宁盘锦大洼区·)在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（    ） A． B． C． D． 36．(25-26高一·江苏盐城亭湖高级中学·期末)在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 37．(25-26高三上·辽宁辽南协作校·期末)在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 38．(24-25高一下·河北邢台质检测联盟·月考)在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 39．(25-26高一下·湖北黄石云学联盟·)如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 40．(25-26高一上·山东日照·期末)如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 题型五：用指定基底表示未知向量 41．(25-26高一下·湖北襄阳第四中学·)如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 42．(25-26高一上·河北唐山第一中学·)在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 43．(25-26高三·山东青岛即墨区·)中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 44．(25-26高一上·安徽·期末)在梯形中， ，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 45．(25-26高一上·浙江宁波奉化中学·期末)已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 46．(25-26高一上·辽宁辽阳·期末)如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 47．(25-26高一上·江苏如皋·期末)在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 48．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期末)如图，在正方形中，为上一点，交于，且，为的两个三等分点，则（   ）    A． B． C． D． 49．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 50．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·月考)在中，，，分别是边，，的中点，点为的重心，则下述结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六：平面向量与等分点、中点、重心向量问题 51．(25-26高一·江苏泰州中学·)在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 52．(25-26高三上·河南湘豫名校联考·月考)如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 53．如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 54．(23-24高一下·四川绵阳·期末)如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 55．在三角形ABC中，点D足AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则（    ）    A． B． C．的最小值为17 D． 56．(25-26高三·天津和平区·)已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 57．(24-25高三上·北京十一学校·)平行四边形中，，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．    58．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________.    59．(25-26高三上·河北衡水中学·期中)正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 60．(25-26高一上·北京第八中学·期末)在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $