第2章 §6 6.1 第4课时 解三角形应用举例 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 解析：选D．作出图形，由条件及图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D． 2．已知学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12 m B．8 m C．3 m D．4 m 解析：选D．因为△ABC为等腰三角形，A＝30°，所以B＝30°，C＝120°， 所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋42－2×4×4×＝48，所以AB＝4 m．故选D． 3．如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD为15(＋1)，则峡谷的宽度BC为(　　) (参考数据：tan 75°＝2＋) A．60 B．60(＋1) C．30 D．30(＋1) 解析：选A．由已知得∠ACB＝30°，∠ABD＝75°，所以CD＝＝15(3＋)，BD＝＝15(－1)，所以BC＝CD－BD＝60.故选A． 4．沪苏通长江公铁大桥(如图1)是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔AB垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶A的仰角分别为∠ADE＝30°，∠ACE＝45°(如图2)，设乘客眼睛离地面的距离为DM＝CN＝h，CD＝a(h>0，a>0).若D，C，E在同一水平高度，且AD，AC，AB在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔AB高为(　　) A．a＋h B．a＋h C．(＋1)a＋h D．(－1)a＋h 解析：选A．在Rt△ADE中，AE＝DE tan 30°＝DE，则DE＝AE，在Rt△ACE中，AE＝CEtan 45°＝CE，CD＝DE－CE＝AE－AE＝(－1)AE＝a，解得AE＝＝a，所以主塔AB＝AE＋BE＝a＋h. 5．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20 m的监测塔BD，C＝90°.若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶的距离AB＝30 m，则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．因为∠BAD＝30°，AB＝30 m，BD＝20 m，在△ABD中，由正弦定理可得＝，即＝，解得sin ∠ADB＝，由∠ADB＝C＋∠DAC＝90°＋∠DAC，所以sin ∠ADB＝sin (90°＋∠DAC)＝cos ∠DAC＝，所以大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为.故选D． 6．(多选)(2025·九江期中)如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，5 min后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则(　　) A．当天10：00，该船位于观测点C的北偏西15° 方向 B．当天10：00，该船距离观测点C的距离为 km C．当船行驶至B处时，该船距观测点C的距离为 km D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了 km 解析：选ABD．对于A选项，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋45°＝105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确； 对于B选项，在△ACD中，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，则∠CAD＝45°.由正弦定理，得AC＝＝，故B正确； 对于C选项，在△BCD中，∠BCD＝45°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，则∠CBD＝45°，则BD＝CD＝2，于是BC＝2，故C不正确； 对于D选项，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝2＋8－2××2×＝6，即AB＝，故D正确．故选ABD． 7．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________ m．(参考数据：tan 75°＝2＋) 解析：过点C作CD⊥AB，交AB于点D(图略). tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120， 所以AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°， 所以AD＝60，故CD＝60， 即河的宽度是60 m． 答案：60 8．若坡度为45°的斜坡长为100 m，现保持斜坡高度不变，把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：如图，BD＝100 m，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，设CD＝x m，则(x＋DA)·tan 30°＝DA·tan 45°，又DA＝BD·cos 45°＝100×＝50(m)，所以x＝－DA＝－50＝50(－)(m). 答案：50(－) 9．一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　) A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km 解析：选B．如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依题意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得，AC＝ ＝＝2，由正弦定理得，sin ∠ACB＝＝，在△ACD中，cos ∠ACD＝cos (90°＋∠ACB)＝－sin ∠ACB＝－，由余弦定理得， AD＝＝ ＝3，所以A地到D地的直线距离是3 km.故选B． 10．如图，某住宅小区的平面呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10 min，从D沿DA走到A用了6 min，若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径OA的长约为________m．(结果保留整数) 解析：设该扇形的半径为r m．由题意，得CD＝500 m，DA＝300 m，∠CDO＝60°.在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD cos 60°＝OC2，即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×＝r2，解得r＝≈445(m)，所以扇形的半径OA的长约为445 m. 答案：445 11．据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400 km的位置，台风中心以40 km/h的速度向正北方向移动，距离台风中心350 km的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为________h． 解析：如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置． 设台风中心移动t h后的位置为C，则BC＝40t km. 又∠ABC＝60°，AB＝400 km， 在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 60° ＝4002＋(40t)2－2×400×40t× ＝1 600t2－16 000t＋160 000， 由AC≤350 km可得，1 600t2－16 000t＋160 000≤3502， 整理可得，16t2－160t＋375≤0，解得≤t≤，又－＝，所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 h. 答案： 12．(15分)(2025·焦作月考)如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处转向所用时间，10 s完成了清扫任务． (1)求B，C两处垃圾之间的距离；(7分) (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值．(8分) 解：(1)由题意得AB＋BC＝0.2×10＝2， 设BC＝x，0<x<2，则AB＝2－x，AC＝2－x＋0.4＝2.4－x， 由题意得A＝90°＋30°＝120°. 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos A＝＝ ＝－， 解得x＝1.4或x＝5.2(舍去)， 所以BC＝1.4，即B，C两处垃圾之间的距离为1.4 m.　 (2)由(1)知AB＝2－1.4＝0.6，AC＝2.4－1.4＝1，BC＝1.4，所以cos B＝＝＝. 13．(15分)在气象台A正西方向300 km处有一台风中心B，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心不超过350 km的地区都将受到影响． (1)若台风中心的这种移动趋势不变，气象台A所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(参考数据：≈3.6)(6分) (2)台风对气象台A的影响从开始到结束，线段AB扫过的面积大约是多少？(9分) 解：(1)如图，因为AB＝300，∠ABB1＝45°，所以点A到直线BB1的距离为300 km， 因为300 km<350 km，所以气象台A所在地会受到台风的影响． 假设台风中心到达B1和B2时，气象台A刚好受到台风影响， 则AB1＝AB2＝350 km，台风中心在B1和B2之间运动时，气象台A持续受到影响． 设台风中心距离B点a km气象台A刚好受到台风影响， 在△ABB1中，由余弦定理得AB＝BB＋AB2－2AB×BB1cos 45°，即3502＝a2＋(300)2－2×300×a×，即a2－600a＋57 500＝0， 解得a＝300±50，即a≈120或a≈480. 则BB1≈120 km，BB2≈480 km，B1B2≈360 km， 所以气象台大约会在≈＝3小时后受到影响，影响持续≈＝9小时． (2)由题可知台风影响从开始到结束，线段AB扫过的面积为S＝S－S＝AB×(BB2－BB1)×sin 45°≈×300×360×＝54 000(km2). 学科网（北京）股份有限公司 $