课时作业21 余弦定理（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十一)　余弦定理 [基础达标练] 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，则A的大小为(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．45° D．90° 解析：选B　由余弦定理，得cos A＝＝＝，又0°<A<180°，所以A＝60°. 2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于(　　) A．30° B．45° C．60 D．90° 解析：选A　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3， 所以c＝. 所以△ABC为直角三角形，A＝30°. 3．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为(　　) A．52 B．2 C．16 D．4 解析：选B　设第三条边长为x， 则x2＝52＋32－2×5×3×＝52， ∴x＝2. 4．若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　) A． B．8－4 C．1 D． 解析：选A　由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2－c2＝4－2ab，而a2＋b2－c2＝2ab cos C，且C＝60°，则a2＋b2－c2＝ab，所以ab＝. 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则c等于__________． 解析：cos C＝－cos (A＋B)＝－， 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C ＝32＋22－2×3×2×＝17， 所以c＝. 答案： 6. 在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝，S△ABC＝，则b＝________，c＝________． 解析：由即 解得b＝4，c＝1(因为c>b，舍去)或b＝1，c＝4. 答案：1　4 7．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3BD，cos ∠BAD＝.求cos ∠ABD. 解：设BD＝x，则AB＝3x. ∵cos ∠BAD＝， 由余弦定理可得，＝， 解得AD＝2x， 由余弦定理可得， cos ∠ABD＝ ＝＝. 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足4S＝a2＋b2－c2. (1)求角C的大小； (2)若AC＝，AB＝1，求△ABC的面积． 解：(1)由余弦定理得，a2＋b2－c2＝2ab cos C， △ABC的面积S＝ab sin C， 由4S＝a2＋b2－c2得，2ab cos C＝4×ab sin C， 即tan C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 即1＝()2＋BC2－2BC×cos ， 解得BC＝1或2. 当BC＝1时，S△ABC＝AC·BC·sin C＝××1×sin ＝； 当BC＝2时，S△ABC＝·AC·BC·sin C＝××2×sin ＝， 所以△ABC的面积为或. [能力提升练] 9．(多选)在△ABC中，已知c＝，A＝，a＝2，则b＝(　　) A．＋1 B． C． D．－1 解析：选AD　由a2＝b2＋c2－2bc cos A得 4＝b2＋6－2b×， 即b2－2b＋2＝0， 解得b＝＋1或b＝－1. 又－2<b<＋2，∴b＝±1.故选AD. 10．已知钝角三角形ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则AC等于(　　) A．5 B． C．2 D．1 解析：选B　∵钝角三角形ABC的面积为， AB＝1，BC＝， ∴＝×1××sin B，解得sin B＝， ∴B＝或B＝. 当B＝时，由余弦定理可得 AC＝ ＝1， 此时AB2＋AC2＝BC2， 可得A＝，为直角三角形，矛盾，舍去． ∴B＝. 由余弦定理可得AC＝ ＝，故选B. 11．在△ABC中，已知＝，，则角A等于________． 解析：∵＝∴(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，整理得bc＝b2＋c2－a2，由余弦定理，得cos A＝＝，结合A为三角形的内角，可得A＝60°. 答案：60° 12. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________． 解析：由余弦定理，可得 cos A＝ ＝＝， 又0<A<π，所以A＝， 所以sin A＝. 则AC边上的高为h＝AB sin A＝3×＝. 答案：　 13. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc. (1)求A的大小； (2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状． 解：(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc， 而a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴2cos A＝1， ∴cos A＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝， ∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.① 又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3， ∴∴b＝c＝， ∴△ABC为等边三角形． [素养拓展练] 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1. (1)求证：A＝B； (2)求边长c的值； (3)若|＋|＝ ，求△ABC的面积． 解：(1)证明：∵·＝·， ∴bc cos A＝ac cos B， 即b cos A＝a cos B， 由余弦定理b×＝a×， 得a2＝b2，即a＝b， ∴A＝B. (2)∵·＝1， ∴bc cos A＝1，余弦定理得bc×＝1， 即b2＋c2－a2＝2， 由(1)得，a＝b，∴c2＝2，则c＝. (3)∵|＋|＝， ∴||2＋||2＋2·＝6， 即c2＋b2＋2＝6， ∴c2＋b2＝4， ∵c2＝2， ∴b2＝2，即b＝， ∴△ABC为等边三角形， ∴S△ABC＝×()2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $