第2章 §6 6.1 第2课时 正弦定理 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，b＝2，则a的值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选C．由正弦定理＝得a＝＝＝2. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4c，B＝，则sin C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由正弦定理得，＝＝，则sin C＝sin B＝×＝. 3．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选B．由题意可知，＝b＝，则sin B＝1，又B∈(0，π)，故B＝，所以△ABC是直角三角形．故选B． 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“A<B”是“sin A<sin B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．由A<B可得a<b，根据正弦定理可得2R sin A<2R sin B(R表示△ABC的外接圆半径)，所以sin A<sin B，充分性成立．由sin A<sin B可得2R sin A<2R sin B，即a<b，由大边对大角可得A<B，必要性成立．所以“A<B”是“sin A<sin B”的充要条件，故选C． 5．(多选)(2025·钦州月考)在△ABC中，若a＝2b sin A，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选AC．依题意，因为a＝2b sin A，由正弦定理，得sin A＝2sin B sin A，所以sin A·(2sin B－)＝0，因为0<A<π，所以sin A≠0，所以2sin B－＝0，解得sin B＝，又0<B<π，所以B＝或B＝.故选AC． 6．(多选)已知三角形有一个角是60°，组成这个角的两边长分别为8和5，则(　　) A．三角形的另一边长为6 B．三角形的周长为20 C．三角形内切圆的面积为3π D．三角形外接圆的周长为π 解析：选BC．由余弦定理可得三角形的另一边长为＝7，则周长为8＋5＋7＝20，故A错误，B正确；设这个三角形的内切圆半径为r，则(8＋7＋5)r＝×8×5×sin 60°，解得r＝，则内切圆的面积为πr2＝3π，故C正确；设这个三角形外接圆的半径为R，则2R＝，则外接圆的周长为2πR＝π，故D错误．故选BC． 7．在△ABC中，若b＝6，c＝6，C＝30°，则a＝__________． 解析：由正弦定理，得＝， 故sin B＝＝＝. 因为b>c，所以B>C＝30°， 所以B＝60°或120°. 当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12. 当B＝120°时，A＝30°，a＝c＝6. 所以a＝6或a＝12. 答案：6或12 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，a＝，则＝_______________________________________. 解析：因为A＝60°，a＝，所以＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C， 所以＝＝2. 答案：2 9．在△ABC中，C＝120°，c＝a，则a与b的大小关系是a________b．(填“>”“<”或“＝”) 解析：由正弦定理＝，得＝，整理得sin A＝＞＝sin 30°，所以A>30°.因为C＝120°，所以A＋B＝60°，所以B＜30°，所以A>B，即a＞b. 答案：＞ 10．(13分)已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C. (1)求边AB的长；(6分) (2)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．(7分) 解：(1)由题意及正弦定理得 AB＋BC＋AC＝＋1， BC＋AC＝AB，解得AB＝1. (2)由△ABC的面积BC·AC·sin C＝sin C，得BC·AC＝，由余弦定理的推论得cos C＝＝ ＝， 由于0°<C<180°，所以C＝60°. 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B<，c＝b sin C，则cos (A－C)的取值范围是(　　) A．(－，1] B．(－，] C．(0，] D．(0，1] 解析：选A．因为在△ABC中，c＝b sin C，所以sin C＝sin B sin C，因为sin C≠0，所以sin B＝.因为0<B<，所以B＝，即A＋C＝.所以A－C＝A－(－A)＝2A－.根据条件得0<A<，所以－<2A－<.所以－<cos (2A－)≤1，即－<cos (A－C)≤1.故选A． 12．(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝45°，c＝8，若解该三角形有且只有一解，则b的值可能为(　　) A．6 B．4 C．5 D．8 解析：选BD．如图，当b≥8时，以A为圆心，b为半径的圆与射线BC(不含点B)有且只有一个交点，故此时三角形有唯一解； 当b＝c sin 45°＝4时，△ABC为直角三角形且C＝90°，此时三角形有唯一解； 当0<b<4时，以A为圆心，b为半径的圆与射线BC无交点，故此时三角形不存在； 当4<b<8时，以A为圆心，b为半径的圆与射线BC有两个交点，故此时三角形有两解，故舍去．综上，b≥8或b＝4，而4<6<8，4<5<8，故选BD． 13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，(a＋c)(sin A＋sin C)＝b sin B＋3c sin A．证明：△ABC是锐角三角形． 证明：因为(a＋c)(sin A＋sin C)＝b sin B＋3c sin A，所以由正弦定理得(a＋c)2＝b2＋3ac，整理得a2＋c2－b2＝ac. 则cos B＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，因为cos A＝∈(，)，A∈(0，π)，所以A∈(，)， 因为A＋C＝，所以C∈(，)， 所以△ABC是锐角三角形． 14．(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b－a)(sin B＋sin A)＝c(sin B－sin C). (1)求A；(7分) (2)若a＝2，B＝，求△ABC的面积．(8分) 解：(1)因为(b－a)(sin B＋sin A)＝c(sin B－sin C)， 所以由正弦定理得(b－a)(b＋a)＝c(b－c)， 即b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝＝， 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由正弦定理得b＝＝2. 由余弦定理，得(2)2＝22＋c2－2×2c cos ， 即c2－2 c－4＝0， 解得c＝＋(负值已舍去). 所以△ABC的面积为ac sin B＝×2×(＋)×＝＋1. 15．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”．当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点即为费马点，在△ABC中，若BC＝4，且sin A∶sin B∶sin C＝2∶2∶1，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为(　　) A．4 B．3 C．4＋ D．4＋2 解析：选B．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶2∶1，所以由正弦定理得a∶b∶c＝2∶2∶1，又a＝4，所以b＝2，c＝，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝－<－，所以A>120°，所以顶点A为费马点，故点A到各顶点的距离之和为b＋c＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $