2.6.1.4 余弦定理、正弦定理的应用举例-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学(B5) 必修第二册 数 课时 第四课时余弦定理、正弦定理的应用举例 学 纠错空间 作业 基础过关 7.作用在同一点的三个力F,F2,F3平 JI CHU GUO GUAN 1.学校体育馆的人字屋架 衡，已知|F|=30N,F2|=50N,F1 4m 为等腰三角形，如图，测 与|F2之间的夹角是60°，则F3与F 人30° 得AC的长度为4m, 之间的夹角的正弦值为 ∠A=30°，则其跨度AB的长为( 8.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只 A.12m B.8 m 小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到 C.3√3m 另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它 D.4√3m 2.若水平面上点B在点A南偏东30°方向 的出发点，那么x= 9.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼 上，则在点A处测得点B的方位角是 ( 顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的 A.60 B.120° 俯角为30°，则甲楼的高是 米， C.150° D.210° 乙楼的高是 米 3.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别 10.某广场有一块不规则的绿地如图所 为300米和500米，测得灯塔A在观察 示，城建部门欲在该地上建造一个底 站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观 座为三角形的环保标志，小李、小王设 察站C的正西方向上，则两灯塔A,B 计的底座形状分别为△ABC, 方法总结 间的距离为 ( △ABD,经测量AD=BD=7米，BC A.500米 B.600米 =5米，AC=8米，∠C=∠D.求AB C.700米 D.800米 的长度 4.有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°， 在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长 坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡 底要延长的长度（单位：m)是 A.5 B.10 C.10√2 D.103 5.(多选)某人向正东方向走了xkm后向 右转了150°，然后沿新方向走了3km, 结果离出发点恰好，√3km,则x的值为 ( ) A.5 B.2√3 C.2 D.3 6.如图所示，在地面上共线 的三点A,B,C处测得 建筑物的仰角分别为 30°>4 30°，45°，60°，且AB=BC 60° 451 =60m,则建筑物的高 度为 ( ) A.156 m B.20√6m C.256m D.30√6m ·64· 第二章平面向量及其应用 课时作业乡 11.空中有一气球D,在它正西方向的地 (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶 面上有一点A,在此处测得气球的仰 方向与AB所成的角； 角为45°，同时在气球的南偏东60°方 (3)若快艇每小时最快行驶75km,快 间 向的地面上有一点B,测得气球的仰 艇应如何行驶才能尽快把材料交到司 角为30°，两观察点A,B相距266m, 机手中，最快需要多长时间？ 纠错空间 计算气球的高度. 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a, c,且25sm号+smA-5=0,其中 素养培优 SU YANG PEI YOU wA=1-2sin会 14.湖面上甲、乙、丙 P 三艘船沿着同一 A (1)求角A的大小； 条直线航行，某一 (2)若△ABC的外接圆半径R=3,且 时刻，甲船在最前 方法总结 AC=3,求△ABC的周长. 面的A处，乙船在 中间B处，丙船在 最后面的C处，且BC:AB=3:1.一架 无人机在空中的P处对它们进行数据 测量，在同一时刻测得∠APB=30°， ∠BPC=90°.（船只与无人机的大小 及其他因素忽略不计) (1)求此时无人机到甲、丙两船的距离 之比； (2)若此时甲、乙两船相距100米，求 无人机到丙船的距离.（精确到1米） 13.如图所示，一辆汽 车从A市出发沿海 A →北 300 岸一条直公路以 500 100km/h的速度 向东匀速行驶，汽 车开动时，在A市南偏东方向距A市 500km且与海岸距离为300km的海 上B处有一快艇与汽车同时出发，要 把一件材料交送给这辆汽车的司机. (1)快艇至少以多大的速度行驶才能 把材料送到司机手中？ ·65·世数学B5) 所以a2=b+c2-2bc0sA=6+26-26×,√26×2 2 B,所以a=b,所以B=晋，所以C=受，故△ABC为等 2 腰直角三角形，故选D.门 13.解：(1)由已知及正弦定理得：2cosC(sin Acos B十 sin Bcos A)=sinC,即2 cos Csin(A十B)=sinC, 故2 sin Cos C=s如C可得sC=子所以C-舌 2已知，宫sinC=2.又C-吾所以h=6由 已知及余弦定理得，a2十b-2 abcos C=7.故a2十b= 13,从而(a十b)=25.所以△ABC的周长为5十√7. 14.解：(1)证明：，2 bsin Ccos A+asin A=2 csin B, ∴.2 bccos A十a2=2cb, ÷2hc.+c-a+a2=2bc, 2bc 化简得b2+c2=2bc, .(b-c)=0,即b=c, 故△ABC为等腰三角形. (2)如图，由已知得BD=2, DC=1, ,∠ADB=2∠ACD= ∠ACD+∠DAC, B .∠ACD=∠DAC, ..AD=CD=1, 又，'cos∠ADB=-cos∠ADC, AD'+BD-ABAD+CD'-AC 2AD·BD 2AD·CD 即1+2c 12+12-b2 2×1×2 2×1×1· 得2b十c2=9,由(1)可知b=c,.b=√5. 第四课时余弦定理、正弦定理的应用举例 1.D2.C3.C4.C5.AB 6.D[设建筑物的高度为h,由题图知，PA=2h,PB=√2h, 0-2. ,在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得 cos∠PBA=60+2h-4,0 2×60×√2h 60+2-寺 cos∠PBC 2×60X√2h -.② ,'∠PBA十∠PBC=180°，∴.cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 由①②③，解得h=30√6或h=-30√6（舍去）， 即建筑物的高度为30√6m,] 7.解析：由题意，知F应和F1,F2的合力F平衡.设F?与 F1之间的夹角为日，作图（如图）， F 60° 可知当三力平衡时，由余弦定理得F= √302+502-2×30X50×c0s(180°-60)=70N,再由 50 70 正孩定理得sin180-=sn180-60,即sin0= 50sin120°_5√3 70 14 答案 。1 必修第二册 8.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再 爬行到B点， A01059 0 B 135o 易知在△AOB中，AB=10cm,∠OAB=75°，∠AB0=45°， 则∠AOB=60°. 由正弦定理知x=AB·sin∠AB0_10Xsn45°105， sin∠AOB sin 60 3(cn). 答案105m 9.解析：甲楼的高为20tan60°=20×√3=20√5（米）；乙楼 的高为205-20n80°-205-20×号9承米). 答案：205号5 10.解：在△ABC中，由余弦定理得： cos C=AC+BC:AB85:-AB: 2AC·BC 2×8×51 在△ABD中，由余弦定理得： COs D-ADBD:-AB7+7-AB 2AD·BD 2×7×7 由∠C=∠D,得cosC=cosD, 解得AB=7,所以AB的长度为7米. 11.解：如图，设CD=x, 北 西.445.C →东 6030° 南 B 在Rt△ACD中，∠DAC=45°，所以AC=CD=x. 在Rt△BCD中，∠CBD=30,所以CB=CD tan30°- 3x. 在△ABC中，∠ACB=90°+60°=150°， 由余弦定理得AB=AC十BC-2·AC·BC· cos∠ACB, 所以26=+6x-2x·(号)，所以 x=38√7(m).所以气球的高度为38√7m. 12.解：1)：25in2号sinA-5=0, 25×1-c0sA+sinA-5=0, 2 即sinA-√3cosA=0,.tanA=√3， 又0<A<π，A=T」 3 (2).a sinA=2R,…a=2 Rsin A=2V5sin子=3， AC=√3=b, ∴.由余弦定理a2=b十c2-2 bccos A,得9=3十c2 5c, .c2-√3c-6=0, c>0,.c=25, ∴.周长为a十b十c=3十33. 8 参考答案 13.解：如图所示，设快艇以vkm/h的速度从B处出发，沿 BC方向，t小时后与汽车在C处相遇。 北 A 一东 (1)在△ABC中，AB=500,AC=100t,BC=t,BD为 AC边上的高，BD=300. 3 4 设∠BAC=a,则sina=5,cosa=5, 由余弦定理得，BC=AC十AB-2AB·ACcos a,即Vt =(100t)2+50022×500X100t·号， 整理得，d=250000-80000+10000=250000× t t 25 =2350m(日-元)】 十3600. 当-即1-时，心2=360，=60, 即快艇至少以60km/h的速度行驶才能把稿件送到司 机手中， (2)当=60km/h时，在△ABC中， AB=500,AC=100×25=625,BC=60×25=375, 4 4 由余孩定理Os∠ABC=AF,BCAC=0. 2AB·BC ,∠ABC=90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东 行驶. (3)如图所示，设快艇以75km/h的速度沿BE行驶，t 小时后与汽车在E处相遇. 在△ABE中，AB=500,AE=100t,BE=75t,cos∠BAE 由余弦定理(75t)2=5002+(100t)2-2×500×100tX 号，整显得1=4或19（含合）， 当t=4时，AE=400,BE=300,AB=AE2+BE2, 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到 司机手中，最快需要4h. 14.解：(1)在△APB中，由正弦定理得，sn∠ABP= AP AB AB sin∠APB1' 2 BC 在△BPC中，由正孩定理得，sinCBP-sin∠CPB CP =BC 又BC=3 AB=i,sin∠ABP=sin∠CBP, 所以部-号 即无人机到甲、丙两船的距离之比为2：3. 1 课时作业乡 (2)由BC:AB=3:1,AB=100米，得AC=400米，设AP =2x米，则CP=3x米， 在△APC中，∠APC=∠APB+∠BPC=120°， 由余弦定理得160000=(2x)2+(3x)2-2·(2x)· (3.x)cos120°， 所以x=4009 19 即无人机到丙船的距离为CP=3江=1200匝≈25 19 (米). 6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 第一课时向量在几何证明中的应用 1.B2.C3.A4.C5.A 6.ABC[A中，令OA=a,OB =b.以OA、OB为邻边作平行 四边形OACB. a+b 0 0 a=b=a-b,.四边 5 形OACB为菱形，∠AOB= 60°，∠A0C=30°，即a与a+ B b的夹角是30°，故A正确.B中，(AB+AC)·(AB AC)=0,.AB2=AC?,故△ABC为等腰三角形.故 B正确.C中，(2a十xb)2=4a2十40·b十xb=4十 4xcos120°+x2=x2-2x十4=(x-1)2+3,故2a十zb 取最小值时x=1.故③正确.D中，BA=OA-OB= (3,-4)-(6,-3)=(-3,-1),BC=0C-0B=(5 m,-3-m)-(6,-3)=(-1-m,-m),又∠ABC为锐 角Bi·成>0，中3+3m十m>0m>-子又当 BA与BC同向共线时，m=子故当∠ABC为锐角时，m 的取值范国是m>-子且m≠子故D不正确，故 选ABC.] 7.解析：OA·OB=OB.O心 .OB·(OA-OC)=OB·CA=0,即OB⊥AC,同理可 得OA⊥BC,OCLAB,由垂心定义可知O为垂心. 答案：垂 8.解析：设P(x,y)是所求直线上任一点， 直线3x一y十1=0的方向向量为(1,3)，由(x一1，y一2) ·(1,3)=0,得x十3y-7=0. 答案：x十3y-7=0 9.解析：如图，在△ABC中，作 ∠BAC的平分线AD,交BC于 点D, 因为A店 为AB方向上的单位 AB 向童A AC B4 -为AC方向上的单位 D 向量， 所以A店 AC =AAD(A>0), ABI ACI AB C 因为ABAC .BC=0, 所以AD⊥BC, 因为AD既是高，又是角平分线， 所以AB=AC, 因为 AB AC 1 ABI AC2' 9