第2章 §5 5.1 向量的数量积 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量为，则a·b的值为(　　) A．3 B． C．2 D． 解析：选B．由题意得，a在b方向上的投影数量为＝，因为|b|＝3，所以a·b＝.故选B． 2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：选A．|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.故选A． 3．(2025·济源月考)设a，b为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．因为a，b为非零向量，若a⊥b，则a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，|a－b|2＝|a|2＋|b|2，则|a＋b|＝|a－b|，反之若|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a·b＝0， 由于a，b为非零向量，故a⊥b，所以“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的充要条件． 4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 解析：选A．因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，又因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选A． 5．(2025·汉中期中)已知向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝3，若与向量b垂直的非零向量c满足c＝λa＋μb(其中λ，μ∈R)，则＝(　　) A．－ B．1 C．6 D．－ 解析：选D．由c＝λa＋μb，b⊥c，得b·c＝b·(λa＋μb)＝λa·b＋μb2＝0. 又a·b＝|a||b|cos ＝，b2＝9， 所以λ＋9μ＝0，整理得＝－. 6．(多选)设向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝1，则(　　) A．a与b的夹角为60° B．|a|2＋|b|2＝1 C．(a＋2b)·(2a＋b)＝2 D．a⊥b 解析：选BCD．对于AD，因为|a＋b|＝|a－b|，故(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，故a与b的夹角为90°，故A错误，D正确；对于B，因为|a＋b|＝1，故a2＋2a·b＋b2＝1，又因为a·b＝0，故|a|2＋|b|2＝1，故B正确；对于C，(a＋2b)·(2a＋b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝2(a2＋b2)＝2，故C正确．故选BCD． 7．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为________． 解析：向量a在向量b上的投影向量是|a|·cos 〈a，b〉＝2×cos 120°×＝－b. 答案：－b 8．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，则a与b的夹角为________． 解析：因为|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，所以a2＋b2＋2a·b＝2，所以a·b＝－2，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以θ＝. 答案： 9．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． 解析：若b＝0，满足题意；若b≠0，因为b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，所以|b|＝|a|cos θ＝cos θ>0(θ为a与b的夹角)，所以θ∈，所以0<|b|≤1.综上，0≤|b|≤1. 答案：[0，1] 10．(13分)已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝. (1)求a与b的夹角θ；(6分) (2)若c＝t a＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.(7分)　 解：(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7，即1－2×1×2×cos θ＋4＝7，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0， 所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×＝0，所以t＝1，所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3. 所以|c|＝. 11．(多选)(2025·南昌期中)已知两个非零单位向量e1，e2的夹角为θ.以下结论正确的是(　　) A．不存在θ，使e1·e2＝ B．|e1－2e2|＝|2e1－e2| C．(e1－e2)⊥(e1＋e2) D．e1在e2上的投影向量的模为sin θ 解析：选ABC．对于A，由于e1·e2≤|e1||e2|＝1，所以不存在θ，使e1·e2＝，故A正确；对于B，由于|e1－2e2|2＝1－4e1·e2＋4＝5－4e1·e2，|2e1－e2|2＝4－4e1·e2＋1＝5－4e1·e2，故|e1－2e2|＝|2e1－e2|，故B正确；对于C，由于(e1－e2)·(e1＋e2)＝e－e＝1－1＝0，故(e1－e2)⊥(e1＋e2)成立，故C正确；对于D，e1在e2上的投影向量为|e1|cos θe2＝cos θe2，所以投影向量的模为|cos θ|，故D错误． 12．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AC＝3AB＝3，＝2，在线段BD上取点E，使得＝3，则cos ∠AEB＝________． 解析：由题意知∠AEB等于与的夹角，＝＋＝－＋，＝＋＝＋＝＋， ·＝·(＋) ＝ ＝× ＝×＝， ||＝ ＝ ＝＝， ||＝ ＝ ＝＝， 则cos ∠AEB＝＝＝. 答案： 13．(13分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a－b)⊥c；(6分) (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．(7分) 解：(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1， 且a，b，c之间夹角均为120°， 所以(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0， 所以(a－b)⊥c. (2)因为|ka＋b＋c|>1， 所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1， 即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1. 因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－， 所以k2－2k>0，解得k<0或k>2， 即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 14．(15分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CB＝2CA＝2.点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足＝λ，＝λ，λ∈(0，1). (1)求·的取值范围；(7分) (2)是否存在实数λ，使得⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(8分) 解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CB＝2CA＝2.所以B＝30°，BA＝，·＝×2×cos 30°＝3， ·＝(＋)·＝(＋λ)·＝·＋λ2＝－·＋λ2＝－3＋4λ， 因为λ∈(0，1)，所以·∈(－3，1). (2)存在．·＝(＋)·(－)＝(＋λ)·(λ－) ＝λ2－· ＋λ2·－λ· ＝3λ－0＋λ2×2××cos 150°－λ×2×1×cos 60° ＝3λ－3λ2－λ＝2λ－3λ2. 令2λ－3λ2＝0，解得λ＝或λ＝0(舍去). 所以存在实数λ＝，使得⊥. 15．已知正六边形ABCDEF的边长为1，点M满足＝(＋)，则||＝________；若点P是其内部一点(包含边界)，则·的最大值是________． 解析：由题可知||＝||＝1，〈，〉＝， 所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)＝(1－2×＋1)＝， 所以||＝. 设向量，的夹角为θ， P在直线AB上的投影为P′，要使·最大， 则θ∈，因为·＝||·||cos θ＝||||， 如图可知当P在C处时，·最大， 此时||＝||＝，θ＝， ·＝×1×＝. 答案：　 学科网（北京）股份有限公司 $