第2章 §5 5.2 5.3 利用数量积计算长度与角度 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．已知向量a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，则a·b＝(　　) A．5 B．14 C．－6 D．2 解析：选B．方法一：因为a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，所以b＝a－(a－b)＝(2，2)，所以a·b＝3×2＋4×2＝14.故选B． 方法二：a·(a－b)＝3×1＋4×2＝11.又a·(a－b)＝|a|2－a·b，所以a·b＝|a|2－11＝32＋42－11＝14.故选B． 2．已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　) A． B． C．2 D．10 解析：选B．由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a＋b|＝.故选B． 3．向量a＝(－1，1)在向量b＝(－3，－4)方向上的投影数量为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D．向量a＝(－1，1)在向量b＝(－3，－4)方向上的投影数量为＝＝－.故选D． 4．已知菱形ABCD，AC＝2，BD＝4，且＝2，则∠DEC的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．在菱形ABCD中，设BD，AC交于点O，以O为坐标原点，分别以BD，AC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 由AC＝2，BD＝4，得A(0，1)，B(－2，0)，C(0，－1)，D(2，0)， 因为＝2，则点B为AE的中点， 所以E(－4，－1)，则＝(6，1)，＝(4，0)， 所以cos ∠DEC＝＝＝＝.故选D． 5．(多选)(2025·抚州月考)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，x)，a与b的夹角为θ，则(　　) A．若a∥b，则x＝－1 B．若x＝2，则|a＋b|＝ C．若a⊥b，则x＝1 D．若x＝2，则cos θ＝ 解析：选BCD． 对于A，若a∥b，则x－2×(－2)＝0，解得x＝－4，故A错误；对于B，若x＝2，则a＋b＝(－1，4)，故|a＋b|＝＝，故B正确；对于C，若a⊥b，则a·b＝－2＋2x＝0，则x＝1，故C正确；对于D，若x＝2，则cos θ＝＝＝，故D正确． 6．(多选)已知点A(1，2)，B(5，2)，C(k，4)，若△ABC为直角三角形，则k的可能取值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：选ACD．由题意得，＝(4，0)，＝(k－1，2)，＝(k－5，2)，因为△ABC为直角三角形，所以⊥，或⊥，或⊥，所以·＝4(k－1)＝0，解得k＝1；或·＝4(k－5)＝0，解得k＝5；或·＝(k－1)(k－5)＋4＝0，解得k＝3.故选ACD． 7．已知向量a＝(4，3)，向量b是垂直于a的单位向量，则b＝____________． 解析：设b＝(x，y)，因为向量a＝(4，3)，且向量b是垂直于a的单位向量， 所以解得或 所以b＝(－，)或b＝(，－). 答案：(－，)或(，－) 8．(2025·汉中期中)设平面向量a，b，c为非零向量，且a＝(1，0).能够说明“若a·b＝a·c，则b＝c”是假命题的一组向量b，c的坐标依次为________． 解析：令b＝(0，1)，c＝(0，－1)，显然a·b＝0＝a·c，而b≠c， 因此b＝(0，1)，c＝(0，－1)能说明“若a·b＝a·c，则b＝c”是假命题， 所以向量b，c的坐标依次为(0，1)，(0，－1). 答案：(0，1)，(0，－1)(答案不唯一) 9．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________________． 解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ). 设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b. 由⇒ 又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 解得λ＝或λ＝－， 当λ＝时，x＝0，y＝； 当λ＝－时，x＝，y＝0. 所以点B的坐标为(0，)或(，0). 答案：(0，)或(，0) 10．(13分)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x). (1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(6分) (2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b的夹角的大小．(7分) 解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)，由a⊥(a＋b)，可得a·(a＋b)＝6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝＝5. (2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)， 故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos 〈a，b〉＝＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角是. 11．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·的取值范围是(　　) A．[2，14] B．[0，12] C．[0，6] D．[2，8] 解析：选A．如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，A(0，0)，E(2，1)， 设F(x，2)(0≤x≤2)， 所以＝(2，1)，＝(x，2)， 因此·＝2x＋2， 设f(x)＝2x＋2(0≤x≤2)，易知f(x)为增函数，且f(0)＝2，f(2)＝14， 故2≤f(x)≤14，即·的取值范围是[2，14].故选A． 12．(多选)(2025·南昌期中)设向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，则下列说法错误的是(　　) A．若|a|＝3|b|，则k＝±6 B．|a|的最小值为9 C．与b共线的单位向量只有一个，为(，－) D．若a与b的夹角为钝角，则k>6 解析：选BC．对于A，若|a|＝3|b|，则＝3，解得k＝±6，故A正确；对于B，|a|＝≥3，当且仅当k＝0时，等号成立，所以|a|的最小值为3，故B错误；对于C，|b|＝＝，与b共线的单位向量有2个，为±(，)＝±(，－)，故C错误；对于D，a与b的夹角为钝角，故a·b<0且a，b不反向共线，则a·b＝(3，k)·(2，－1)＝6－k<0且－3－2k≠0，解得k>6且k≠－，综上，k>6，故D正确． 13．(13分)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，m). (1)若a与b的夹角为135°，求实数m的值；(6分) (2)若a⊥(a－b)，求向量a在向量b上的投影向量坐标．(7分) 解：(1)因为a＝(2，1)，b＝(－1，m)，则a·b＝m－2，|a|＝，|b|＝， 若a与b的夹角为135°， 则由a·b＝|a||b|cos 135°， 可得m－2＝××(－)(m<2)，解得m＝－3或m＝，则实数m的取值为－3或. (2)a－b＝(3，1－m)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝2×3＋1－m＝0， 则m＝7，可得b＝(－1，7)， a·b＝7－2＝5，|b|＝＝5， 则a在b上的投影向量为 ·b＝b＝(－，). 14．(15分)已知△OAB的顶点坐标为O(0，0)，A(2，9)，B(6，－3)，点P的横坐标为14，且＝λ，点Q是边AB上一点，且·＝0. (1)求实数λ的值与点P的坐标；(4分) (2)求点Q的坐标；(5分) (3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点，试求·(＋)的取值范围．(6分) 解：(1)设P(14，y)，则＝(14，y)，＝(－8，－3－y)，由＝λ，得(14，y)＝λ(－8，－3－y)，解得λ＝－，y＝－7，所以实数λ的值为－，点P的坐标为(14，－7). (2)设Q(a，b)，则＝(a，b)， 由(1)得＝(12，－16)，因为·＝0， 所以12a－16b＝0，即3a－4b＝0.① 因为点Q在边AB上，所以∥， 又＝(4，－12)，＝(a－2，b－9)， 所以4(b－9)＋12(a－2)＝0， 即3a＋b－15＝0.② 联立①②，解得a＝4，b＝3， 所以Q点坐标为(4，3). (3)由(2)得＝(4，3)， 因为R为线段OQ(含端点)上的一个动点， 所以设＝t＝(4t，3t)，且0≤t≤1， 则R(4t，3t)，＝(－4t，－3t)， ＝(2－4t，9－3t)，＝(6－4t，－3－3t)， 所以＋＝(8－8t，6－6t)， 所以·(＋)＝－4t·(8－8t)－3t·(6－6t)＝50t2－50t＝50－(0≤t≤1)， 当t＝0或1时，可取得最大值0； 当t＝时，可取得最小值－.故·(＋)的取值范围为. 15．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，定义余弦相似度为cos (A，B)＝cos 〈，〉，余弦距离为1－cos (A，B).已知点A(sin θ，cos θ)，B(0，1)，若A，B的余弦距离为，则锐角θ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由题意得1－cos (A，B)＝，故cos (A，B)＝， ＝(sin θ，cos θ)，＝(0，1)， 又cos (A，B)＝cos 〈，〉＝＝＝cos θ， 故cos θ＝，所以锐角θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $