第2章 5.1 向量的数量积(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

5.1　向量的数量积 1.若向量a，b满足｜b｜＝2，a为单位向量，且a与b夹角θ＝，则b在a上的投影向量为（　　） A.a　　　　　　　　　B.－a C.2a D.－2a 2.已知△ABC中，·＜0，则△ABC的形状为（　　） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 3.已知a，b方向相反，且｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜2a－b｜＝（　　） A.1 B.13 C.2 D.3 4.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 5.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（　　） A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b 6.〔多选〕已知向量a，b满足a·b＝1，｜b｜＝1，且｜a＋b｜＝，则下列选项正确的是（　　） A.｜a｜＝2 B.a⊥（a－b） C.a与b的夹角为 D.a与b的夹角为 7.已知a⊥b，（3a＋2b）⊥（ka－b），若｜a｜＝2，｜b｜＝3，则实数k的值为　　　　. 8.已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝　　　　. 9.已知A，B是圆C上的两点，弦AB的长度为2，则·＝　　　　，若在上的投影向量为，则｜｜＝　　　　. 10.已知向量a，b的夹角为，｜a｜＝1，｜b｜＝2. （1）求a·b的值； （2）若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值. 11.设P为△ABC所在平面内一点，且满足·＝·＝·，则P是△ABC的（　　） A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 12.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b的夹角为30° B.若a·b＞0，则a，b的夹角为锐角 C.若·＝·＋·＋·，则△ABC一定是直角三角形 D.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且｜｜＝｜｜，则向量在向量方向上的投影数量为 13.如图，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝　　　　. 14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； （2）求·的取值范围. 15.如图，在矩形ABCD中，过边AB上的点P1，P2分别作AB的垂线，分别交CD于P7，P8，过AD边上的点P3作AD的垂线，分别交P1P7，P2P8，BC于P4，P5，P6，则集合{y｜y＝·，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 16.（1）如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和DB的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ （2）借助上述数学模型，对任意非零向量a，b，你能否证明a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]（极化恒等式）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §5　从力的做功到向量的数量积 5.1　向量的数量积 1.B　｜b｜cos θa＝2×cos a＝2×a＝－a，即b在a上的投影向量为－a. 2.A　∵·＝｜｜·｜｜·cos B＜0，∴cos B＜0，又∵B为△ABC的内角.∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形. 3.B　∵｜2a－b｜2＝（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4×32－4×3×7×cos 180°＋72＝169，∴｜2a－b｜＝13. 4.C　由（2a＋b）·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 5.D　由题意，得a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝.对于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥b. 6.AC　因为｜a＋b｜＝，a·b＝1，所以a2＋2a·b＋b2＝7，即a2＋2×1＋1＝7，解得｜a｜＝2，故A正确；因为a·b＝1，｜a｜＝2，所以a·（a－b）＝a2－a·b＝4－1≠0，故B错误；因为a·b＝1，｜a｜＝2，｜b｜＝1，所以cos＜a，b＞＝＝，又因为0≤＜a，b＞≤π，所以a与b的夹角为，故C正确，D错误. 7.　解析：由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由（3a＋2b）·（ka－b）＝0⇒3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0，∴12k－18＝0，∴k＝. 8.－8或5　解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－（3a＋λb），即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 9.2　　解析：过点C作CD⊥AB于点D，则在方向上的投影向量为，且｜｜＝｜｜＝1，所以·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝｜｜｜｜＝2×1＝2.又在上的投影向量为，所以·＝｜｜2＝2，所以｜｜＝. 10.解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos＝1×2×＝－1. （2）因为2a－b和ta＋b垂直， 所以（2a－b）·（ta＋b）＝0， 整理得2t｜a｜2＋（2－t）a·b－｜b｜2＝0， 即2t－（2－t）－4＝0，解得t＝2. 11.B　由·＝·，得·（－）＝·＝0，即PB⊥CA，同理PA⊥BC，PC⊥BA，所以P是△ABC的垂心，故选B. 12.ACD　由向量减法法则及题意知，向量a，b，a－b可以组成一个等边三角形，向量a，b的夹角为60°，又由向量加法的平行四边形法则知，以a，b为邻边的平行四边形为菱形，所以a与a＋b的夹角为30°，故选项A中说法正确. 当a＝λb≠0时不成立，故选项B中说法错误. 因为·＝·＋·＋·，所以·＝·（－）－·＝·－·，所以·＝0，即⊥，所以△ABC是直角三角形，故选项C中说法正确. 如图，其中四边形ABDC为平行四边形，因为＋＝2，所以O为AD，BC的交点，又｜｜＝｜｜＝｜｜，所以△AOC为等边三角形，所以∠ACB＝60°，且BC为外接圆的直径，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，BC＝2，AC＝1，所以AB＝，则向量在向量方向上的投影数量为｜｜cos∠ABC＝×＝.故选项D中说法正确.故选A、C、D. 13.－　解析：过点O作AB的垂线，垂足为D（图略），可知D为AB的中点，则在上的投影向量为，所以·＝·＝－｜｜2，同理，·＝－｜｜2，·＝－｜CA｜2，∴·＋·＋·＝－×（62＋72＋82）＝－. 14.解：（1）连接AM，BM（图略）， 由已知可得＝， ＝－， 易得四边形OAMB是菱形， 则＝＋， 所以＝－＝－（＋）＝－－. （2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO或MA重合时，MC最大， 此时MC＝1，则·＝cos 60°＝. 所以·的取值范围为. 15.B　（i＝1，2，3，…，8）在上的投影向量仅有4种情况，分别是0，，，，由数量积的几何意义知·（i＝1，2，3，…，8）有4个不同的值，所以该集合中有4个元素. 16.解：（1）可发现以下结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 即在平行四边形ABCD中，AC2＋DB2＝2（AB2＋AD2）. 探究过程如下： 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图，取{，}为一组基，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2， ① ＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2. ② ①＋②，得＋＝2（a2＋b2）. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AC2＋BD2＝2（AB2＋AD2）. （2）证明：以a，b为邻边作平行四边形ABCD. 不妨设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b， ｜｜2＝（a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2， ③ ｜｜2＝（a－b）2＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2， ④ ③－④可得极化恒等式，即a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]. 此式当a，b共线时仍成立. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $