第2章 §4 4.1 平面向量基本定理 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则＝(　　) A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) 解析：选A．＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2).故选A． 2．已知{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为一组基的是(　　) A．e1＋e2和e1－2e2 B．2e1－e2和2e2－4e1 C．e1－2e2和e1 D．e1＋e2和2e2＋e1 解析：选B．因为2e1－e2＝－(2e2－4e1)，所以2e1－e2和2e2－4e1共线，所以2e1－e2和2e2－4e1不能作为一组基．故选B． 3．如图，已知＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝(　　) A．(a＋b) B．2(a＋b) C．(a－b) D．2(a－b) 解析：选D．因为＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，连接AB(图略)，则AB是△MNS的中位线，所以＝2＝2(－)＝2(a－b).故选D． 4．已知AB是圆O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a－b C．a＋b D．a－b 解析：选A．连接CD(图略).因为AB是圆O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，所以CD∥AB且CD＝AB，所以＝＝a，所以＝＋＝b＋a.故选A． 5．(多选)如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且＝4，若＝m＋n，其中m，n∈R，则(　　) A．m＋n＝ B．m－n＝ C．2m＝3n D．3m＝2n 解析：选ABC．在▱OACB中，＝，＝，＝＋，因为E是AC的中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝4，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝m＋n，所以＝(m＋n)＋(m＋n)，所以解得所以m＋n＝，m－n＝，2m＝3n.故选ABC． 6．(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A．＝－＋ B．＝＋ C．＝－＋ D．＝＋ 解析：选ABC．因为AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，所以＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确；因为＝3，所以＝＝－＋，所以＝＋＝＋＝＋，又F为AE的中点，所以＝＝＋，B正确；＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确；所以＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误．故选ABC． 7．已知{a，b}是平面向量的一组基，实数x，y满足3a＋4b＝(x－1)a＋(2－y)b，则x＋y＝________． 解析：因为{a，b}是平面向量的一组基，且3a＋4b＝(x－1)a＋(2－y)b，所以 解得 所以x＋y＝4＋(－2)＝2. 答案：2 8．已知向量a在基{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基{e1＋e2，e1－e2}下可以表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝______，μ＝________． 解析：由题意可知a＝(λ＋μ)e1＋(λ－μ)e2，则解得 答案：　－ 9．(2025·南昌月考)在四边形ABCD中，＝t，且＝λ＋μ，若λ－μ＝，则t＝__________． 解析：如图，设AC与BD交于点E，由＝t可得AB∥DC且AB＝tDC， 易得△ABE∽△CDE，则有＝，＝， 于是＝＋＝－，又＝λ＋μ，故得 由λ－μ＝＋＝，解得t＝2. 答案：2 10．(13分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一组基；(6分) (2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．(7分) 解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1，e2不共线，得无解， 故a与b不共线，可以作为一组基． (2)由4e1－3e2＝λa＋μb， 得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2， 所以解得 故所求λ，μ的值分别为3和1. 11．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图所示，在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D． a＋b 解析：选A．因为＝，所以＝－＝，因为Rt△ABF≌Rt△DAE，所以BF＝AE，AF＝DE，DE∥BF，则＝－， 所以＝＋＝－＝－(－)＝＋－＝＋－，所以＝＋，所以＝＋，所以＝＝＋＝a＋b.故选A． 12．(多选)点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则(　　) A．当P为线段OC的中点时，μ＝ B．当P为线段OC的中点时，μ＝ C．无论μ取何值，恒有λ＝ D．存在μ∈R，λ＝ 解析：选AC．＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. 因为与共线，所以设＝k(k∈R)，即(1－λ)＋λ＝kμ＋3kμ， 整理得(1－λ－kμ)＝(3kμ－λ)，又与不共线，所以即＝＝k，解得λ＝，故C正确，D错误； 当P为OC的中点时，＝，即k＝，代入得解得故A正确，B错误．故选AC． 13．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比为________． 解析：如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，可得λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4. 答案：1∶4 14．(15分)如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB. (1)试用向量a，b来表示，；(7分) (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM.(8分) 解：(1)因为AN＝AB， 所以＝＝a， 所以＝－＝a－b. 因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b. (2)因为A，O，M三点共线，所以∥， 存在实数λ使＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋b＝μ＝μa－μb. 由于向量a，b不共线， 则解得 所以＝，＝， 所以AO∶OM＝3∶11. 15．(15分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC交于点M.设＝a，＝b. (1)试用向量a，b表示；(5分) (2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M.设＝λ，＝μ，其中λ，μ∈R. 当EF与AD重合时，λ＝1，μ＝，此时＋＝5；当EF与BC重合时，λ＝，μ＝1，此时＋＝5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式＋＝5恒成立？请说明理由．(10分) 解：(1)设＝ma＋nb(m∈R，n∈R). 由A，M，D三点共线，可知存在α(α∈R，且α≠－1)，使得＝α， 则－＝α(－).因为＝， 所以＝a＋b. 由平面向量基本定理得 即m＋2n＝1.① 由B，M，C三点共线，可知存在β(β∈R，且β≠－1)，使得＝β，则－＝β(－).又＝，所以＝a＋b. 由平面向量基本定理得 即3m＋n＝1.② 由①②得m＝，n＝，故＝a＋b. (2)能得出结论．理由：由于E，M，F三点共线，则存在实数γ(γ∈R，且γ≠－1)使得＝γ，则－＝γ(－)，于是＝.又＝λ，＝μ， 所以＝＝a＋b. 由平面向量基本定理得 消去γ，得＋＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $