2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

2.4.2　平面向量及运算的坐标表示 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.相等向量的坐标相同,与向量的起点、终点的位置无关 B.当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标 C.两向量和的坐标与两向量的顺序无关 D.两向量差的坐标与两向量的顺序无关 解析:选ABC　由向量坐标表示的定义,即可判断出A、B正确.因为加法满足交换律,所以两向量和的坐标与两向量的顺序无关.故C正确.因为减法不满足交换律,所以两向量差的坐标与两向量的顺序有关.故D错误.故选ABC. 2.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基的是 (　　) A.a=(0,0),b=(2,3) B.a=(1,-3),b=(2,-6) C.a=(4,6),b=(6,9) D.a=(2,3),b=(-4,6) 解析:选D　只有D选项中两个向量不共线,可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基,故选D. 3.在如图所示的平面直角坐标系中,向量的坐标是 (　　) A.(2,2) B.(-2,-2) C.(1,1) D.(-1,-1) 解析:选D　因为A(2,2),B(1,1),所以=(-1,-1). 4.已知点A(1,3),B(2,7),向量=(0,-2),则= (　　) A.(1,4) B.(-1,-4) C.(1,6) D.(-1,-6) 解析:选D　因为=(1,4),所以=-=(-1,-6).故选D. 5.已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则P点的坐标为 (　　) A.(2,4) B.(-14,16) C.(6,1) D.(2,-11) 解析:选A　设P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y).因为=-2,所以解得所以P点的坐标为(2,4).故选A. 6.已知A(1,-3),B,且A,B,C三点共线,则点C的坐标可以是 (　　) A.(-9,1) B.(9,-1) C.(9,1) D.(-9,-1) 解析:选C　设点C的坐标是(x,y),因为A,B,C三点共线,所以∥.因为=-(1,-3)=, =(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),所以7(y+3)-(x-1)=0,整理得x-2y=7,经检验可知点(9,1)符合要求,故选C. 7.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= (　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析:选A　设每一个正方形小方格的边长为1,以向量a,b的公共点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,可得a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).∵c=λa+μb,∴解得λ=-2,μ=-.因此==4. 8.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d= (　　) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 解析:选D　设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2).易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则(4-6+4+x,y-12+20-2)=(0,0),解得x=-2,y=-6.所以d=(-2,-6). 9.[多选]已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么 (　　) A.+=(λ-1,1-μ) B.若∥,则λ=2,μ= C.若A是BD的中点,则B,C两点重合 D.若点B,C,D共线,则μ=1 解析:选AC　+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A正确.若∥,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=,B错误.若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ)⇒λ=μ=-1,所以==(-1,1).所以B,C两点重合,C正确.因为B,C,D三点共线,所以∥.又=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=-=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1,D错误.故选AC. 10.(5分)若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,已知A(1,3),B(2,4),则x=__________. 解析:∵=(2,4)-(1,3)=(1,1),且=a, ∴解得x=1. 答案:1 11.(5分)在四边形ABCD中,A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点,则=__________.  解析:因为A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点,所以E,F.所以=-=(4,2). 答案:(4,2) 12.(10分)已知向量a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2). (1)求6a+b-2c;(4分) (2)求满足a=mb+n c的实数m,n.(6分) 解:(1)6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11). (2)∵a=mb+n c,∴(3,2)=m(-1,3)+n(5,2)=(-m+5n,3m+2n). ∴解得 13.(10分)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1). (1)若=,求D点的坐标;(4分) (2)设向量a=,b=,若向量ka-b与a+3b平行,求实数k的值.(6分) 解:(1)设D(x,y),因为=,所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),整理得(1,-5)=(x-4,y-1),即有解得 所以D(5,-4). (2)因为a==(1,-5),b==(4,1)-(2,-2)=(2,3), 所以ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4). 因为向量ka-b与a+3b平行,所以7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得k=-. 所以实数k的值为-. 14.(10分)如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明: (1)DE∥BC;(6分) (2)D,M,B三点共线.(4分) 证明:(1)如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令||=1,则||=1,||=2. ∵AD⊥AB,CE⊥AB,AD=DC, ∴四边形AECD为正方形. ∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). ∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), =(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴=,∴∥,即DE∥BC. (2)连接MB,MD.∵M为CE的中点, ∴M, ∴=(-1,1)-=, =(1,0)-=. ∴=-,∴∥. 又与有公共点M,∴D,M,B三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $