第2章 4.1 平面向量基本定理-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

0i。m.10i1.5 、sm SA40B。1Oi。m =m+5 SAAnc m+5 5 四方法总结 若A,B,C三点共线，0是平面内不在A,B,C所在直线上的任意 点，则有0元=m+n0店，其中m+n=1, 7.A=u+5解析：因为0i=a+ub,0=3a-2b,0元=2a-3b,所以AB= 0i-0i=(3-入)a-(2+μ)b,BC=0元-0i=-a-b.若A,B,C三点共线， 则A∥B元，即3-A=-(2+u),化简可得A=u+5. 8】解桥：因为防+2成+7成+元+ 8P=0,所以pi-Pi+2p+7P+P元+ 8Pi=0,所以P+8P+P元+8Pi=0,所B 以P+P元+8PB+8P币=0. 取E,F分别为BD,AC的中点，如图，则2PF+16PE=0,即PF= -8P店，所以P成-8店.所以成g成 因为Q为AB的中点，所以QE∥AD,QF∥BC.又B元=2Ai,则AD∥ BC,所以QE∥AD,QF∥AD,所以Q,E,F三点共线，所以EQ= }市.子c=成.所以成-0-0正=动}而=号应所以 庄：市所以成=成+动：号应所以成=哥 g动i所以 1A9 9.10解析：连接AB,如图所示，因为AC⊥ BC,则AB为圆O的一条直径，故O为AB 的中点，所以M+M店=(Md+Oi)+(M心+ 0)=2Md,所以1M+M店+2M元1= 12Md+2(Md+0元)1=14Md+20元1≤ 41Mò1+210元1=4×2+2×1=10，当且仅当M,0,C共线且M⑦，0元同 向时，等号成立 压轴挑战 CD解析：如图，设Oi=a,0=b,则a+b=0,设t(a+b)=0元，易知C 在直线0P上，由cms9=2可得LA0B=60,∠C0B=30,过C作 cDL0B,1cl=10c1·sm30=10c1.又a-a+6=di-0-d. 则a-(a*by1+u(a+o)1=d+ad1=d+1动1.过4作 A010B.易知1A01=101·in60=3又1d1+11≥1401=5 2 2 枚a(ab)1:子以a+6)1≥结合选项，可能取值为或1. 2 0 QD B §4平面向量基本定理及坐标表示 4.1平面向量基本定理 白题 基础过关 1.AC解析：若A≠0，则e,=-大e,从而向量e1,e共线，这与e1,e 参考答案 不共线相矛盾，则入=0，同理可得4=0，故A正确； 由平面向量基本定理可知入，唯一确定，故B不正确： 平面内的每个向量a可表示成Ae,+ue2的形式，反之也成立，故 C正确： 结合向量加法的平行四边形法则易知，当Ae,和e,确定后，其和向 量入e1+ue2便唯一确定，故D不正确. 2.C解析：对于A,设存在唯一的实数入使e1-e2=入(e2-2e1)= Ae,-2e1,则1=入此方程无解，故e,-e,62-2e,能作为平面 (1=-2λ. 向量的一组基，故A不符合题意： 对于B,设存在唯一的实数入使e1-e2=入e1-2e?) =e1- (1=入， 2e2,则{ 1人，此方程无解，故{ee2,e2e}能作为平 -1=-2， 面向量的一组基，故B不符合题意： 对于C,由6e1-4e2=-2(2e2-3e1),所以2e2-3e1与6e1-4e2共线， 故2e2-3e1,6e1-4e2不能作为平面向量的一组基，故C符合题意； 对于D,设存在唯一的实数A使e1+3e2=A(e1+e)=Ae1+入e2,则 =入此方程无解，故e,+e2,e+3,能作为平面向量的一组基，故 (3=入 D不符合题意 3.B解析：由图可知，a=0i,b=0B,所以a-b=01-02=Bi=e1-3e2 Bb70 a --------- A 4.BC解析：由已知可得B武=A心-A=b-a,故D错误； 因为P,Q,R分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点，由QP= 破-d成-动+成-6+(-)=a+,故 3 B正确； 成成-亦花病+6，故c正确 5.B解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0,b<0.故选B. 6.D解析：如图，因为A店=mD元，所以D元= D 1成，所以花=A+D元=市+1成因为A元= m AA+uA⑦(A,u∈R),A店，Ai不共线，所以 m'所以u=Am,故选D. w=1, 四方法总结 (1)A,B,C三点共线问题，利用AB=入AC构造方程求参数. (2)已知向量ma+nb与ka+pb(a与b不共线)共线，求参数值的 步骤： ①设ma+nb=A(ka+pb); ②整理得(m-话)a=(p-n)b,故{m=, n=入p ③解方程组得参数值 子（厨）证 所以a=子6=号所以a-6=石 黑白题021 黑题应用提优 1.B解析：①A,A不共线可以作为基：②Di∥B元不可以作为基； ③CA,DC不共线可以作为基：④OD∥OB不可以作为基，故可作为表 示口ABCD所在平面所有向量的基的是①③. 2.AC解析：由题意可得A花=A店+B成=A店+】B扇=A店+】(B成+C 店++}成因为四边形EFGH是平行四边形，所以花=-C庄。 所以心-成)花所以d=9应+配-9应+3 9 10 10 10 10 则A正确，B错误 因为耐=成+耐：市}花亦+成，所以成=成+成 号花号成访子动.则C正确，婚误 3.D解析：如图，作出O的相 B 反向量0B,再以射线0C, 0 OA为邻边，以OB'为对角线 作□ODB'E,由题意知， ∠D0B'=90°，∠EOB'=D∠ B ∠0B'D=60°，10D1= 310B1=3,1021=210B1=2 所以0B=2O+30元，所以0房=-0B=-20-30元，即A+=-5. 4.D解析：根据网格图中的a,b,c的大小与方向，易得到c=2a+b,由 向量Aa+b与c共线，可得Aa+b=1c=t(2a+b),解得1=1，入=21=2. 5.AC解析：对于选项A,因为成-2所以AD/BC,且AD=2BC, 所以GD= 之BG=号m,所以励-号励，放选项A正确 对于选项B,若G亦=F元，则F为CG的中点，因为E为CD的中点，所 以EF∥DG,与EF,DG相交于点B矛盾，故选项B错误. 对于选项C,因为E为cD的中点，所以成=2（成+励）=？(2b+ b-a)=2a+2b,故选项C正确. 对于选项D,由题意可设A庐=mA元，m∈(0,1)，所以B=A京-A店 mAd-A店=m(A+BC)-A店=(m-1)AB+mB元=(m-1)a+2mb,又 B求=Aa+ub,所以A=m-1,4=2m,所以2A-μ=2(m-1)-2m=-2,故 选项D错误 6.D解析：由G是△ABC的重心，得G+G+C元=0，则G元=-G-G 由题中等式得d:-·d.成，又d,成，的为非零向 AB AB利 量，所以cd由d的表示是唯一的.则-产-1，且-交-L, 故1A1=1B武1=A元，即△ABC为等边三角形. 7.45°解析：因为直线1上有不同的三点A,B,C,所以存在实数入，使 得B=入B元，所以O-0i=A(0元-0)，即0i=(1-A)0店+入0元，所 。0所以na=s&因为&是锐角、所以a=45故 答案为45°. 8名（答案不峰-，只要个于0和1申可）解析：如图所示，取点E 为AB的三等分点（靠近B点），可得正=2店】 再取点D为BC的三等分点（靠近B点），点F为AC的三等分点（靠 近A点)，分别连接DE,DF,则DE∥AF,DF∥AE,所以四边形AEDF 为平行四边形，由3=2成+xA花，可得成=2店+x元，即成= 应+花， 必修第二册·BS 设花=配，可得前=花+4花，由平行四边 形法则，当点G在AC上运动时，可得点M在 直线DE上，要使得M在△ABC内部（不包含 边界)，则点G在线段AF上运动（不包括端 点)，所以0c营<兮解得0<1，所以其中 一个：的值可以是石 9.(1)证明：假设a,b共线，所以存在实数入，使得a=Ab,即e1+2e2= A(e1-e2),整理得(1-A)e1=-(A+2)e2,则e1,e2共线，这与e1,e2 是不共线的非零向量矛盾，所以假设不成立，即α与b不共线，所以 {a,b可以作为一组基， (2)解：设c=e1+3e2=xa+b=x(e1+2e2)+y(e1-e2)=(x+y)e1+(2x- ,因为：色是不共线的非零向量，所以{解得 4 41 所以c=3a-3b, 1 y=3' 10.证明：设A元=xAd,BG=yB成，则A店+BC=x(A店+B),所以B元=(1 )i+配.又因为B心=yB成=)i+】B配，由平面向量基本定理 宁深是店-正号( 得 花）i+兮成=号应，所以c6,P三点共线，且1d1 子1则有8能祭号 11.解：(1)因为M是线段BC上一点，且满足BM=2MC,则B=2M元， 所以矿-访=2（花-动.可得矿号店+号花-a+子因为 应3网撤（行子小8 (2)因为A正=xA店，A疗=yA元，其中x,y∈(0,1)，所以由(1)可知 因为E,P,F三点共线，则存在入∈R,使得E序=入E序，所以A心-A正= A(A市-A),可得市=(1-)A花+A应 因为证不类线所以以方A则女 所以*2=2（太）+（任） 4(s兰）=(5+2√至）=？当且仅当 「2x=2y 11 42y1, 即当=y=子时，等号成立，故x+2的最小值为} x>0,y>0, (3)因为MB=BG,BM=2MC,所以GM=4MC,即Gi=4M元，即A 花=4（花-.可得前衣+年花 因为子d,所以产花+因为P,GF三点共线，则 存在u∈R,使得P市=uG京，即A-A市=u(A市-A心)，所以A市=(1- )AF+uAG. 因为，不共线所以14A=司则品有1.解得 3 33 黑白题022 12 y= 17 由(2)可知1+1 ,11降v=二代人可得x=,一，故=6 7× 1717 1214 4.2平面向量及运算的坐标表示 白题 基础过关 1.B解析：AB=(5+3,-2-7)=(8,-9) 2A解折了字6子0之则在赛U下的尘 标为(-1,2). 3.(-1,√5)解析：由∠x0A=120°可得∠y0A=30°，因为10A1=2,所 以A(-1,3),故0A=(-1,W5). 4.D解析：由向量AB=(-2,1),A元=(3,4)，得B元=A元-AB=(5,3) 5.C解析：由题意可得3a+4b=(6,-9)+(-16,24)=(-10,15). 6.A解析：A(1,2),B(3,2),.AB=(2,0).又：a=(x+3,x2-3x （x+3=2, 4)=…34=0,解得=-1 7.c=3a+b解析：设c=xa+b,x,y∈R,则(7,3)=(2x+y,-x+6y),即 {一6 ly=1..c=3atb. 8号解折：+心=(3+3A,1+5),则P点坐标为(5+3A,4+ 5入)，由于点P在第一、三象限的角平分线上，则5+3A=4+5入，解得 λ22 g.Ac解折：由点44.6).a(3,）,得应=(-7，号) 达项A,-7x3-(号）X号0，所以A选项正确选项B,-7×号 (号)）7=0，所以B选项正确选项c,-7x(-3)-(号） (4)=0,所以C选项正晚选项D,-7xg-(?)x740,所以 选项D不正确 10.C解析：因为A,B,C三点共线，所以A店∥A元.又因为A店=(2,6)， AC=(3,m+3),所以2(m+3)=6×3,解得m=6. 11.2解析：由题意有b-4a=(2,x)-4(1,1)=(-2,x-4),因为b∥ (b-4a),所以-2x=2(x-4)→x=2. 重难聚焦 12.解：法一：由题意知P,B,0三点共线，又0=(4,4)，故可设0币 t0i=(4t,4),.Ad=0币-0i=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),A元= 0元-0i=(2,6)-(4,0)=(-2,6) 又A,C,P三点共线，产/A亡，6(41-4)+8=0，解得1= 3 .0P=(33),即点P的坐标为(3,3) 法二：设点P(x,y),则0币=(x,y.易知0i=(4,0),0元=(2,6)， 0i=(4,4). P,B,0三点共线，.0币∥0店，.4x-4y=0. P,A,C三点共线，.APA元 又A=0-0i=(x,y)-(4,0)=(x-4,y),A元=0元-0=(2,6)- (4,0)=(-2,6),∴.6(x-4)+2y=0. 由4r-4y=0, 6(x-4)+2=0.得{v=3点P的坐标为(3,3)， 黑题应用提优 1.AC解析：对于A,由3×1≠-2×4，得m,n不平行，则向量m,n可以 作基底，A正确：对于B,由(-2)×(-6)=3×4，得m,n平行，则向 参考答案 量m,n不可以作基底，B不正确；对于C,由2×3≠0x0,得m,n不平 行，则向量m,n可以作基底，C正确；对于D,由-1×6=3×(-2)， 得m,n平行，则向量m,n不可以作基底，D不正确. 2.C解析：设点P的坐标为(x,y),A(-1,2),B(3,0),.A币=(x+1, y-2),P2=(3-x,y） 由A=2IP1且点P在直线AB上，得A市=2P3或A市=-2P成. 5 2g点r 3， (y-2=2(-y) y23 的坐标为（号号）支7，-2以 3.D解析：对于A,(1,0)=x(1,1)+(-2,2),可得x=2=-4 y<0: 对于B,(3,2)=x(1,1)+(-2,2)可得x= 1 24<0: 1 对于C,(-1,0)=x(1,1)+y(-2,2)可得x=2y=4<0: 对于D,(1,in0-3=x1山+y(-2,2)可得x=%7k0,=咖 4 1<0.xy>0. 4.C解析：由p=(1,-1),q=(2,1),m=(-1,1),n=(1,2),可知 p=-m,q=n-m, 因为向量a在基底p=(1,-1),9=(2,1)下的坐标为(-2,2)，所 以a=-2p+2q=2m+2(n-m)=2n,所以a在基底m=(-1,1),n= (1,2)下的坐标为(0,2). 5.C解析：设a=(x,y),对于集合M,(x,y)=(1,2)+A(3,4),即(x-1, y2)=(3,4),则-1=3,12 y-2=4,…3 ①.对于集合N,(x,y)= 4 （-2,-2)+(4.5),即(+2，+2)=A(4,5),则{+2=4h,:+2 (y+2=5A. +2②.由①2解得x=-2,y=-2.故选C 6.(5,-3)解析：设c的坐标为(x,y),由向量坐标加法运算可得a+ 3b=(-7,5),-2b-2a=(2,-2) 因为向量a+3b,-2b-2a,c的有向线段首尾相接构成三角形，所以a+ 3b+(-2b-2a)+c=0,代入得(-7,5)+(2，-2)+(x,y)=(0,0),解得 x=5,y=-3,所以c=(5,-3) 7.(-2,4)解析：由点B绕点A沿顺时针方向旋转3π后得到点P,得 点P绕点A沿递时针方向旋转子后得到点瓜， -则=(-)由点41,3点 B(1+√2,3-22)，得A=(2,-22), 因t号=v.竖-2.解得=-3=1.市 (-3,1),而0=(1,3)，则0=0+A市=(-2,4)，即点P的坐标为 (-2,4) 8解：（山依题意成=，-号成.d=子（成-= 子成可号元+成a号成， 3 3 3 0成-i+-i(元}耐)i号元 (2)以0为坐标原点，以0i,0元方向为x,y轴的正方向建立平面直角 坐标系，如图，则A(2,0),B(1,1),C(0,1), 黑白题023§4平面向量基本定理及坐标表示 4.1平面向量基本定理 白题 基础过关 限时：25min 题组1平面向量基本定理的理解 的三边AB,BC,CA的四等分点，如果AB=a, 1.·(多选)若e1,e2是平面内两个不共线的向 AC=b,以下向量表示正确的是 () 量，入，“是实数，下列说法正确的是( A.若入，u满足e1+ue2=0,则入=u=0 B.对于平面内任意一个向量a,使得a=Ae1+ e2成立的实数入，u有无数对 C.Ae,+e2可以表示平面内的所有向量 A.Qp=-31 40-2b B.R=-3 a+2b D.当入，取不同的值时，向量入e1+e2可能 表示同一向量 C. D.BC=a-b 4 2.*(2025·江西景德镇一中高一期中)若 题组3利用平面向量基本定理求参数 {e1,e2}是平面内的一组基，则下列四组向量 5.·(2025·山东青岛高一月考)如图所示， 中不能作平面向量的一组基的是 平面内的两条相交直线OP1,和OP,将该平面 A.{e1-e2,e2-2e1} 分割成四个部分I,Ⅱ，Ⅲ，V(不包括边界). B.er-es,e- 若0P=a0P+bOP,且点P落在第Ⅲ部分， 则实数a,b满足 ( C.{2e2-3e1,6e1-4e2} P. D.{e1+e2,e1+3e2} P. 题组2平面向量在基下的分解式 3.·(2025·广东广州高一期末)如图，向量 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 a-b等于 ( C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 6.*(2024·浙江宁波高一期末)在梯形 e e ABCD中，AB∥CD,且AB=mDC(m>0),若 AC=AAB+uAD(入，∈R),则 () A.-4e1-2e2 B.e1-3e2 A.入+u=m B.um=1 C.-2e1-4e2 D.3e1-e2 C.入=m D.=入m 4.*苏教教材变式（多选）(2025·江苏无锡高 7.在平行四边形ABCD中，AB=4F元，B正= 一期中)如图所示，已知P,Q,R分别是△ABC 2E元，A正=aAB+bA,则a-b= 必修第二册·BS黑白题036 黑题 应用提优 限时：45min 1.设点O是口ABCD两条对角线的交点，下4.*向量a,b,c在正方形网格中的位置如图 列组合中：①AD与AB;②DA与BC,③C与DC; 所示.若向量入a+b与c共线，则实数入= ④0D与OB,其中可作为表示口ABCD所在平 面所有向量的基的是 ( A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 2.*(多选)(2025·陕西西安高一期中)“赵 A.-2 B.-1 C.1 D.2 爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由 5.*★（多选）(2025·江西景德镇一中高一期 四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成 末)如图，在四边形ABCD中，BC=2AD,E为 的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦 CD的中点，BE与AC交于点F,BD与AC交 图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼 于点G,设AB=a,AD=b,则下列结论正确的是 成一个大平行四边形，其中E,F,G,H分别是 线段DF,AG,BH,CE上靠近D,A,B,C的三等 A励号玩 分点，则 ( B.G=F元 C.B=-1a3 2a+2b D.若BF=λa+ub,则2入-u=-1 RG-等写切 6.*(2025·云南文山高一月考)在△ABC 中，IBC1·GA+1AC1·G+1A1·G元=0，其 DG-破} 中G是△ABC的重心，则△ABC的形状是 ( 3.**(2025·河南驻马店高一月考)如图所 A.直角三角形 B.等腰三角形 示，平面内有三个向量0A,0B,0元，0A与0B的 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 夹角为120°，0A与0元的夹角为150°，且 7.**(2024·山东青岛高一月考)直线1上有 10i1=1081-1,10c1-5,若0i=A0+ 不同的三点A,B,C,0是直线1外一点，对于 向量0A=(1-cos)OB+-sin a OC(a是锐角) uOC(X,h∈R),则A+w= 总成立，则α= 8.*(2025·江苏苏州高一期中)在△ABC内 部（不包括边界）有一点M,满足3AM= 2AB+xAC,请写出一个满足题意的实数x的值： A.1 B.-1 C.-4 D.-5 .(只要填写一个即可) 第二章黑白题037 9.*(2025·江西南昌高一期中)设e1,e2是不11.禁(2025·江苏苏州高一期中）如图，在 共线的非零向量，且a=e1+2e2,b=e1-e2 △ABC中，M是线段BC上一点，且满足 (1)证明：{a,b}可以作为一组基； BM=2MC,点P满足AP=3PM,过P的一条 (2)若向量c=e1+3e2,在基{a,b}下，分解c. 直线l分别交线段AB,AC于点E,F.设AE= xAB,A=yAC,其中x,y∈(0,1).记AB=a, AC=b. (1)试用a,b表示AP; (2)求x+2y的最小值； (3)若直线I交CB的延长线于点G,并 有MB=BG,求的值 y 10.如图，已知△ABC,求证：△ABC的三条 中线AD,BE,CF相交于一点G,且AG_BC AD BE CG 2 CF-31 必修第二册·BS黑白题038