第2章 §3 3.1 向量的数乘运算 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．下列算式中，错误的是(　　) A．(－7)×6a＝－42a B．a－2b＋(2a＋2b)＝3a C．a＋b－(a＋b)＝0 D．4(2a＋b)＝8a＋4b 解析：选C．对于A，(－7)×6a＝－42a，A正确；对于B，a－2b＋(2a＋2b)＝3a，B正确；对于C，a＋b－(a＋b)＝0，C错误；对于D，4(2a＋b)＝8a＋4b，D正确． 2．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则点P在(　　) A．△ABC外部 B．线段AB上 C．线段BC上 D．线段AC上 解析：选D．因为＋＋＝，所以＋＋－＝0，所以＋＋＋＝＋＋＝0，所以2＝，所以点P在线段AC上．故选D． 3．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．因为＝－，＝－，所以－＝t(－)，所以＝(1－t)＋t＝＋，所以t＝.故选A． 4．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由－4＋3＝0，得－＝3(－)，即＝3，所以＝＋＝，所以||＝||，即＝，故选B． 5．(多选)已知向量a＝2e，b＝－6e，e为非零向量，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 解析：选ABD．由数乘运算的定义可知，a与b方向相反且|b|＝3|a|，A，B正确，C错误．因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确．故选ABD． 6．(多选)(2025·驻马店期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且＝2，点F是BD上靠近点D的四等分点，则(　　) A．＝－ B．＝＋ C．＝－ D．＝＋ 解析：选AC．由＝2，得＝2，所以＝，易知＝，所以＝－＝，又点F是BD上靠近点D的四等分点，则＝，＝－＝－＝(＋)－(－)＝－. 7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．(用a，b表示) 解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案：4b－3a 8．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________. 解析：因为＝＝，∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.所以＝.又与同向，所以＝. 答案： 9．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________________.(用a，b表示) 解析：如图，＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝b－a. 答案：b－a 10．(13分)已知在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：＝(＋). 证明：如图，因为E为AD的中点， 所以＝. 因为F是BC的中点， 所以＝(＋). 又因为＝＋， 所以＝(＋＋)＝(＋)＋， 所以＝－＝(＋)＋－＝(＋). 即＝(＋). 11．已知点P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△ABP与△ACP的面积之比是(　　) A．3∶1 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶2 解析：选B．由＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，可得＝－，即点P在线段BC上，且||＝||，则S△ABP∶S△ACP＝||∶||＝2∶3.故选B． 12．(多选)已知点P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．向量与可能平行 B．点P在线段EF的延长线上 C．点P在线段EF上 D．PE∶PF＝2∶1 解析：选CD．因为点P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点， 则＋＝2，＋＝2，而＋2＋3＝0，即(＋)＋2(＋)＝0，于是得2＋4＝0，即＝2，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1.又点P在△ABC的中位线EF上，有EF∥AB，即点P，A，C不共线，则向量与不可能平行．故A不正确，B不正确，C正确，D正确．故选CD． 13．在四边形ABCD中，若＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是__________． 解析：如图所示，因为＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)， 所以＝2.所以与共线，且||＝2||. 又因为这两个向量所在的直线不重合，所以AD∥BC，且AD＝2BC. 所以四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 答案：梯形 14．(15分)已知点D为等边三角形ABC所在平面内一点，＝，且线段BC上存在点E，使得＝＋.试确定点E的位置，并说明理由． 解：因为＝，所以＝， 所以＝×＋＝＋，从而＝－＝－＝(－)＝， 故点E为靠近点B的一个三等分点． 15．(15分)如图，O为△ABC的外心，H为△ABC内一点，且＝＋＋. (1)求证：H是△ABC的垂心；(提示：＋＝－＝)(7分) (2)若H为△ABC所在平面内任一点，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？(8分) 解：(1)证明：因为O为△ABC的外心，H为△ABC内一点，且＝＋＋， 所以＋＝－＝. 取AB的中点E(图略)，则＋＝2，又||＝||，所以OE⊥AB. 又＝2，所以CH⊥AB. 同理＋＝－＝，可得BH⊥AC，＋＝－＝，可得AH⊥BC，所以H是三条高线的交点，即H是△ABC的垂心． (2)成立． 因为向量的运算法则不会因为H在△ABC上或外侧而发生改变，所以只要满足题干中的条件，仍然能按照(1)中的推导证明H是△ABC的垂心． 学科网（北京）股份有限公司 $