第2章 §3 3.2 向量的数乘与向量共线的关系 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．若a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则以下向量中与2a＋b共线的是(　　) A．－5e1＋2e2 B．4e1＋10e2 C．10e1＋4e2 D．e1＋2e2 解析：选B．若a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则2a＋b＝2(2e1＋e2)＋(－2e1＋3e2)＝2e1＋5e2＝(4e1＋10e2).所以向量2a＋b与向量4e1＋10e2共线．故选B． 2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　　) A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2 解析：选D．由于A，B，C三点共线，故可设＝k(k∈R)，因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，所以λ＝k，2＝k(λ－1)，解得λ＝－1或λ＝2.故选D． 3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　) A．P，A，C三点共线 B．P，A，B三点共线 C．P，B，C三点共线 D．以上均不正确 解析：选A．在△ABC中，取AC的中点D，则＋＝2，所以2＝2，所以D和P重合，所以P，A，C三点共线．故选A． 4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为同一平面上一点，且2＝2＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 解析：选B．因为2＝2＋， 所以2(－)＝，即2＝， 所以∥，所以A，B，P三点共线，且P在线段AB的反向延长线上．故选B． 5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析：选AB．由2a－3b＝－2(a＋2b)得，b＝－4a，故A一定可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B一定可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但a与b不一定共线，故C不一定可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不一定可以．故选AB． 6．(多选)已知A，B，C是三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　　) A．＝2 B．＝ C．＝3 D．A，B，C三点共线 解析：选ABD．由题可得＝－＝a－2b，＝－＝2a－4b，＝－＝a－2b，所以＝2，故A正确；＝，故B正确；＝2，故C错误； 由＝2可得∥，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确．故选ABD． 7．设向量a，b不平行，若向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________． 解析：因为向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.又因为向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝. 答案： 8．如图，在△ABC中，点N为线段AC上靠近A点的三等分点，若＝＋，则m＝________． 解析：＝＋＝＋(－)＝m＋，因为点N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以＋m＝1，解得m＝. 答案： 9．(2025·济源月考)已知向量e1和e2不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝xe1＋ye2.若A，C，D三点共线，请写出一组满足条件的实数对(x，y)：__________． 解析：因为＝3(e1＋e2)，＝e2－e1， 所以＝－＝3(e1＋e2)－(e2－e1)＝4e1＋2e2，又＝xe1＋ye2，若A，C，D三点共线，则存在实数λ，使得＝λ，即4e1＋2e2＝λxe1＋λye2，所以所以y＝x，则满足条件的实数对可以是(4，2). 答案：(4，2)(答案不唯一) 10．(13分)(2025·亳州月考)已知e1，e2是两个不共线的向量，且a＝ke1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)若向量a与b共线，求实数k的值；(6分) (2)若k＝1，用a，b的线性组合表示c＝3e1－e2.(7分) 解：(1)因为向量a与b共线，所以设a＝λb，λ∈R，即ke1－2e2＝λ(e1＋3e2)， 所以解得k＝λ＝－. (2)设c＝xa＋yb＝x(e1－2e2)＋y(e1＋3e2)＝(x＋y)e1＋(3y－2x)e2， 又因为c＝3e1－e2， 得解得 所以c＝2a＋b. 11．已知点M为△ABC中BC边上的中点，点N满足＝，过点N的直线与AB，AC分别交于P，Q两点，且设＝x，＝y，则＋的值为(　　) A．5 B．6 C．9 D．10 解析：选D．根据题意，得 ＝＝×(＋) ＝(＋)＝(＋) ＝＋. 因为P，N，Q三点共线，所以＋＝1， 即＋＝10. 12．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0，则△ABC与△AOC面积的比值为__________． 解析：如图，设D，E分别为边BC，AC的中点，＋＝2，＋＝2. 因为＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2(＋2)＝0， 即2＋＝0，所以与共线． 又OD与OE有公共点O， 所以D，E，O三点共线，且2||＝||， 所以S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，所以＝3. 答案：3 13．(13分)如图所示，在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线． 证明：设＝a，＝b， 所以＝－＝－＝a－b. 又点N在BD上，且BN＝BD， 所以＝＝(＋)＝a＋b，所以＝－＝a＋b－b＝a－b，所以＝，又与有公共点C， 所以M，N，C三点共线． 14．(15分)(2025·钦州期中)如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且＝3.过点D的直线EF与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F(E，F两点不重合). (1)用，表示；(6分) (2)若＝λ，＝μ，求＋的值．(9分)　 解：(1)在△ABD中，可知＝＋， 又＝3，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. (2)由(1)知＝＋， 又＝λ，＝μ， 所以＝，＝， 所以＝＋. 又D，E，F三点共线，且A在直线EF外， 所以有＋＝1，即＋＝4. 15．如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF＝AF，点P在AB上，BP＝2AP，点Q是△DEF 内 (含边界)一点，若＝λ＋，则λ的最大值为________． 解析：由＝λ＋，可得－＝＝λ.取DE的中点H，连接AH，因为BD＝AF＝DF＝DE，即BD＝DE，故BD＝2HD，又BP＝2AP，所以＝＝，故DP∥AH，且＝，即||＝||，所以λ的最大值为，此时点Q与点H重合． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $