第2章 §2 2.1 向量的加法 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．在平面四边形ABCD中，下列结论不正确的是(　　) A．＋＋＝ B．＋＋＋＝0 C．＋＝ D．＋＝ 解析：选C．由向量加法的三角形法则可得＋＋＝，＋＋＋＝0，＋＝，故A，B，D正确；只有当四边形ABCD为平行四边形时，＋＝才成立，故C不正确．故选C． 2．(2025·亳州月考)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 解析：选B．在正六边形ABCDEF中，因为＝，所以＋＋＝＋＋＝. 3．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 解析：选D．由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D． 4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 解析：选B．如图，设＝a，＝b，＝c，则a＋b＝c表示＋＝，所以四边形ABCD是平行四边形，由于|a|＝|b|，所以四边形ABCD是菱形，由于|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC和△ACD是等边三角形，所以向量a，b的夹角为∠BAD＝120°.故选B． 5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是(　　) A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上 C．P在AB边所在的直线上 D．P在△ABC的外部 解析：选D．＋＝，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部． 6．(多选)设a＝＋＋＋，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b| 解析：选AC．由题意，向量a＝＋＋＋＝＋＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；因为a＋b＝b，所以B不正确，C正确；因为|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D不正确．故选AC． 7．某人骑自行车的速度是v1，风速是v2，则他逆风行驶的速度为__________． 解析：因为速度是向量，由向量的加法定义可得逆风行驶的速度为v1＋v2. 答案：v1＋v2 8．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________． 解析：如图所示，连接AG并延长交BC于点E， 则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，所以四边形BDCG为平行四边形，则＋＝，＋＝0，故＋＋＝0. 答案：0 9．若点P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________． 解析：由＋＝知四边形ACBP为平行四边形．又因为点P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，所以四边形ACBP为菱形，PA＝PC＝AC，所以∠ACP＝60°，易得∠ACB＝120°. 答案：120° 10．(13分)如图，已知向量a，b，c，d. (1)求作a＋b＋c＋d；(6分) (2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．(7分) 解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d. (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝. 因为e为单位向量， 所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)， 由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线， ||即为|a＋e|的最大值，最大值是3. 11．已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，E为斜边BC上一动点，则|＋|的最小值为(　　) A． B． C．1 D． 解析：选A．|＋|＝||，显然当E为斜边BC的中点，即AE⊥BC时，AE最小，如图，最小值为＝，即|＋|的最小值为.故选A． 12．已知＝a，＝b，||＝||＝3，∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________． 解析：由题设作平行四边形OBCA，如图， 因为||＝||＝3，所以平行四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D. 因为∠AOB＝60°，所以AB＝||＝3，∠BOD＝30°，所以在Rt△BOD中，OD＝OB·cos 30°＝.所以||＝|a＋b|＝×2＝3. 答案：3 13．(13分)如图，已知点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：＋＋＝0. 证明：连接DE，EF，FD，如图，因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以EF∥AD，DE∥AF，所以四边形ADEF为平行四边形， 由向量加法的平行四边形法则，得＋＝，① 同理在平行四边形BEFD中，＋＝，② 在平行四边形CFDE中，＋＝，③ 将①②③相加，得＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0. 14．(15分)(2025·桂林月考)雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时速度的大小和方向． 解：如图，用表示无风时雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度． 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则就是雨滴下落的实际速度． 在Rt△OAC中，||＝4， ||＝||＝，所以||＝＝＝， 所以tan ∠AOC＝＝＝， 又0°<∠AOC<90°，所以∠AOC＝30°. 故雨滴着地时速度的大小是 m/s，方向为与竖直向下方向成30°角的方向． 15．若O是正五边形ABCDE的中心，则＋＋＋＋＝________；若O是正n边形A1A2…An的中心，则1＋2＋…＋n＝________． 解析：令m＝＋＋＋＋， 若将m顺时针旋转72°，等价于将，，，，都顺时针旋转72°，如图： 向量，，，，在旋转后对应向量为，，，，，所以旋转后向量的和为＋＋＋＋＝m，即m顺时针旋转72°后所得向量仍是m，故m＝0. 设a＝1＋2＋…＋n，将a顺时针旋转，等价于将1，2，…，n都顺时针旋转，同理，旋转后向量的和为1＋2＋…＋n＝a，即a顺时针旋转后所得向量仍是a，故a＝0. 答案：0　0 学科网（北京）股份有限公司 $