第1章 阶段小测(一)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

阶段小测(一) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．sin (－1 395°)cos 30°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.由诱导公式得sin (－1 395°)cos 30°＝sin (－4×360°＋45°)·cos 30°＝sin 45°cos 30°＝×＝. 2．若扇形OAB的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是(　　) A． B．π C． D． 解析：选C.设扇形OAB的半径为r，弧长为l，则解得 3．函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是(　　) A． B．[－2，1] C．(－3，1] D．(－2，1] 解析：选D.因为x∈，则sin x∈，故y＝－2sin x－1∈(－2，1]. 4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2a，a－2)，且cos α＝，则实数a的值是(　　) A．－4或 B． C．－4 D．1 解析：选B.由三角函数的定义可得cos α＝＝＝，则a＞0，整理可得5a2＋16a－16＝0，因为a＞0，解得a＝. 5．若α是第三象限角，且＝－cos ，则的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，则是第二或第四象限角，又＝－cos ，所以cos <0，所以是第二象限角． 6.《九章算术》是我国古代的数学著作，其中《方田》一章给出了计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长等于 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是(　　) A．(－4) m2 B．(－2) m2 C．(4＋2) m2 D．(2＋4) m2 解析：选D.设圆弧的半径为r m，则＝r，解得r＝4，所以“弦”为2r sin ＝2×4×＝4(m)， “矢”为r－r cos ＝4－4×＝2(m)， 所以弧田面积S＝×(4×2＋2×2)＝(4＋2) m2.故选D. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．下列不等式中成立的是(　　) A．sin 1<sin B．sin >sin C．cos >cos 2 D．cos (－70°)>sin 18° 解析：选AD.对于A，因为0<1<<， 且y＝sin x在[0，]上单调递增， 所以sin 1<sin ，故A正确； 对于B，sin ＝sin ，sin ＝sin >sin ，故B错误； 对于C，因为<2<<π，且y＝cos x在(，π)上单调递减，所以cos <cos 2，故C错误； 对于D，cos (－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故D正确． 8．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，1－m)，若m>0，则下列各式的符号无法确定的是(　　) A．sin α B．cos α C．sin α－cos α D．sin α＋cos α 解析：选AC.sin α＝，cos α＝， 当m∈(0，1)时，sin α>0，当m∈(1，＋∞)时，sin α<0，当m＝1时，sin α＝0，故sin α的符号不确定，故A符合题意； cos α＝>0，符号确定，故B不符合题意； sin α－cos α＝， 故当m∈(0，)时，sin α－cos α>0， 当m∈(，＋∞)时，sin α－cos α<0， 当m＝时，sin α－cos α＝0， 故sin α－cos α的符号不确定，故C符合题意； sin α＋cos α＝＋＝>0，符号确定，故D不符合题意．故选AC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知f(n)＝2cos ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝________． 解析：易知f(n)以6为周期，且f(1)＝2cos ＝1，f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.又2 025＝337×6＋3，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝337×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2. 答案：－2 10．化简：＝______________________________. 解析：当n＝2k(k∈Z)时， 原式＝＝； 当n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝＝－. 故原式＝ 答案： 11.如图，在平面直角坐标系内，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P1(，).若线段OPn－1绕点O逆时针旋转得OPn(n≥2，n∈N)，则点P2 025的纵坐标为________． 解析：因为角α的终边与单位圆交于点P1(，)，所以sin α＝，cos α＝，设点P2 025为角β的终边与单位圆的交点，则β＝α＋2 024×，所以sin β＝sin (α＋2 024×)＝sin (α＋506π)＝sin α＝，所以点P2 025的纵坐标为. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知f(x)＝ . (1)化简f(x)；(7分) (2)求f(－π).(6分) 解：(1)f(x)＝ ＝ ＝. (2)f(－π)＝ ＝＝＝－. 13.(本小题满分15分)如图，这是一个扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)展台，AD＝4 m. (1)若∠COD＝，OA＝2 m，求该扇形环面展台的周长；(7分) (2)若该扇形环面展台的周长为14 m，布置该展台的平均费用为500元/m2，求布置该扇形环面展台的总费用．(8分) 解：(1) 的长度l1＝ m，的长度l2＝4π m，所以扇形环面展台周长为l1＋l2＋4×2＝＋8(m). (2)设∠COD＝θ，OA＝r m，则的长度l1＝θr，的长度l2＝θ(r＋4)＝θr＋4θ，因为该扇形环面的周长为14 m，所以l1＋l2＋4×2＝14，即θr＋θr＋4θ＋8＝14，整理得θr＋2θ＝3，则该扇形环面展台的面积S＝θ(r＋4)2－θr2＝4θr＋8θ＝4(θr＋2θ)＝12(m2)，所以布置该扇形环面展台的总费用为12×500＝6 000(元). 14．(本小题满分15分)已知函数f(α)＝.　 (1)判断函数f(α)是否为周期函数；(4分) (2)求函数f(α)的单调递增区间；(4分) (3)当α∈(－，]时，求f(α)的值域．(7分)　 解：(1)函数f(α)的定义域是R，对任意α， 因为f(α＋2π)＝＝＝f(α)，所以f(α)是周期函数． (2)由正弦函数的单调性，可知在区间 [2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上， 函数y＝sin α是单调递增的， 而此时函数y＝2－sin α单调递减， 从而可知此时函数f(α)单调递增， 故可知函数f(α)的单调递增区间为 [2kπ－，2kπ＋](k∈Z). (3)设t＝sin α，α∈(－，]， 则t∈(－，1]，所以1≤2－t<， 则<≤1，故f(α)的值域为(，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $