第1章 §8 三角函数的简单应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．简谐运动f(x)＝2sin 的图象经过点P(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 解析：选A.由周期公式知T＝＝6，当x＝0时，由f(x)＝2sin φ＝1及|φ|＜知φ＝.故选A. 2. 已知单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为S(t)＝3sin (t＋)，则单摆来回摆动的振幅和摆动一次所需的时间分别为(　　) A．3 cm，4 s B．－3 cm，4 s C．3 cm，2 s D．－3 cm，2 s 解析：选A.由题意得单摆来回摆动的振幅为3 cm，摆动一次所需的时间为T＝＝4 s．故选A. 3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin (2t＋)，s2＝5cos (2t－).则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　) A.s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．s1≥s2 解析：选C.当t＝时，s1＝5sin (2×＋)＝－5，s2＝5cos (2×－)＝－5，所以s1＝s2. 4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列时间段内车流量逐渐增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 解析：选C.由函数y＝sin x的单调递增区间为－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z，解得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π，因为[10，15]⊆[3π，5π].故选C. 5．重庆被誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合．已知桥拱部分长552 m，两端引桥各有190 m，主桁最高处距离桥面89.5 m，则将下列函数等比例放大后，与主桁形状最相似的是(　　) A．y＝0.45cos x B．y＝4.5cos x C．y＝0.9cos x D．y＝9cos x 解析：选A.设主桁(题图中粗线)部分对应的余弦函数为f(x)＝A cos ωx，可得函数的周期为T＝552＋190×2＝932，即ω＝＝，又由2A＝89.5，解得A＝，所以函数的解析式为f(x)＝cos x，按1∶100的比例等比变换，可得f(x)＝cos x，对比选项，可得与函数y＝0.45cos x相似．故选A. 6．(多选)(2025·吉安月考)如图1是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图2，h(单位：m)表示在时间t(单位：s)时，过山车(看作质点)离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面50 m，最低点Q距离地平面10 m，入口处M距离地平面20 m.当t＝4 s时，过山车到达最高点P，t＝10 s时，过山车到达最低点Q.设h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)，下列结论正确的是(　　) A．函数h(t)的最小正周期为12 B．φ＝ C．当t＝14 s时，过山车距离地平面40 m D．一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s 解析：选ACD.由题意可知，周期T满足＝10－4＝6，得T＝12，所以＝12，得ω＝， 又解得 所以h(t)＝20sin (t＋φ)＋30， 又h(0)＝20，即20sin φ＋30＝20， 得sin φ＝－，因为|φ|<， 所以φ＝－，所以h(t)＝20sin (t－)＋30. 对于A，T＝12，A正确； 对于B，φ＝－，B错误； 对于C，h(14)＝20sin (×14－)＋30＝20sin ＋30＝40，C正确； 对于D，由h(t)<20，得20sin (t－)＋30<20，即sin (t－)<－， ＋2kπ<t－<＋2kπ，k∈Z，解得8＋12k<t<12＋12k，k∈Z， 所以一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是(12＋12k)－(8＋12k)＝4 s，D正确． 7．简谐运动y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________． 解析：因为T＝，所以ω＝3π，初相为－π，所以相位为3πx－π. 答案：3πx－π 8．(2025·宿州期中)智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线是y＝2cos 3x，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)，则φ＝________． 解析：由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即A＝2，ω＝3， 即y＝2sin (3x＋φ)，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝－2cos 3x， 即φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0≤φ<2π， 所以令k＝0，即φ＝. 答案： 9.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　) 解析：选C.设 所对的圆心角为α，则α＝l，弦AP的长d＝2·|OA|·sin ， 即有d＝f(l)＝2sin .故选C. 10．(多选)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋B(A>0，B>0，0<ω<)，其中0≤t≤24.已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　) A．ω＝ B．当天下午3：00温度最高 C．温度为28 ℃是当天晚上7：00 D．从当天晚上11：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃ 解析：选ABD.当 t＝0时，θ＝25 ℃，所以B＝25，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，此时t＝18， 所以 所以A正确． f(t)＝6sin t＋25，令t＝即t＝6时f(t)取得最大值，t＝6对应当天下午3：00，B正确． f(t)＝28，解得t＝2或t＝10， 即为当天上午11：00或当天晚上7：00，C错误． 令f(t)≤22，即6sin t＋25≤22， 解得－＋2kπ≤t≤－＋2kπ，k∈Z， 即－10＋24k≤t≤－2＋24k，k∈Z. 当k＝1时，14≤t≤22，即从当天晚上11：00到第二天清晨7：00温度都不高于22 ℃，D正确．故选ABD. 11．(15分)某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，若该曲线近似满足函数关系：f(t)＝A sin (ωt－)＋b(A>0，ω>0). (1)求y＝f(t)的表达式；(6分) (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．(9分) 解：(1)因为f(t)＝A sin (ωt－)＋b(A>0，ω>0)图象上最低点的坐标为(2，－4)，与之相邻的最高点坐标为(14，12)，所以A＝＝8，＝14－2＝12，b＝－4＋A＝－4＋8＝4， 所以T＝＝24，解得ω＝. 所以f(t)＝8sin (t－)＋4，0≤t≤24. (2)由(1)得，8sin (t－)＋4<0， 所以sin (t－)<－， 所以＋2kπ<t－<＋2kπ，k∈Z， 解得22＋24k<t<30＋24k，k∈Z， 因为0≤t≤24，所以0≤t<6，22<t≤24. 所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8 h． 12．(15分)(2025·上饶期中)某地区的一种特色水果上市的11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨趋势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数： ①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝A sin ＋B(以上三式中p，q，A，B均为常数). (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(5分) (2)若f(3)＝8，f(7)＝4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0，10]，其中x＝0表示1月份，x＝1表示2月份，……，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？(10分) 解：(1)应选f(x)＝A sin (x－)＋B，因为①f(x)＝p·qx是单调函数且不具有先升后降再升的特点； ②f(x)＝px2＋qx＋1同样不具有先升后降再升的特点； ③f(x)＝A sin ＋B有多个单调递增区间和单调递减区间，具有先升后降再升的特点． (2)由f(3)＝A sin ＋B ＝A sin ＋B＝A＋B＝8，① f(7)＝A sin ＋B＝A sin ＋B＝－A＋B＝4，② 由①②解得A＝2，B＝6， 所以f(x)＝2sin ＋6(x∈[0，10])， 所以x－∈， 当f(x)<5时，需采用外销策略，则此时 2sin ＋6<5， 即sin <－， 又x－∈， 由函数y＝sin x，x∈， 且sin x<－， 得－≤x<－或＋π<x<＋π， 即－≤x－<－ 或＋π<x－<＋π， 即0≤x<或<x<， 又x＝0表示1月份，故应在1月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略． 学科网（北京）股份有限公司 $