专题05 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)+B模型与应用（高效培优专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题05 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)+B模型与应用 题型一：含三角函数的函数图像判断 题型二：三角函数图像平移、伸缩 题型三：三角函数与恒成立/能成立问题 题型四：三角函数模型的实际应用 题型五：三角函数在几何中的应用 题型一：含三角函数的函数图像判断 1．(25-26高一上·福建厦门第二中学·期末)函数在上的图像大致为（     ） A．     B．   C．   D．   2．(24-25高三下·辽宁实验中学·模拟)下面可以作为函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．函数在区间上的图像大致为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·山东桓台第一中学拓展部·)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·上海建平中学·期中)下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   7．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)函数图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   8．以下最符合函数的图像的是（   ） A． B． C． D． 9．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   10．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（    ） A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④② 题型二：三角函数图像平移、伸缩 11．(25-26高一上·湖南岳阳·期末)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点向_____平移_____个单位长度.（   ） A．左； B．左； C．右； D．右； 12．(25-26高三上·河南南阳六校联考·期末)想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 13．把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 14．(25-26高三下·湖南长沙第二十六中学等校·开学考)将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 15．设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 17．(25-26高一下·河南南阳唐河县第一高级中学·调研)（多选题）有以下四种变换方式： ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度； 其中能将的图象变换成函数的图象的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 18．将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 19．(25-26高一上·云南昆明·期末)已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到的图象，若，则的最小值为______. 20．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是______ 题型三：三角函数与恒成立/能成立问题 21．(25-26高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·)已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，．当时，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．(25-26高一上·重庆第七中学校·月考)已知函数定义域为，满足为偶函数.当且时，不等式恒成立，设，，则（     ） A． B． C． D． 23．(25-26高三上·北京第八中学·期中)已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．(25-26高一上·河北黄骅中学等校·期末)已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，使得，则（    ） A． B． C． D． 25．(25-26高一上·浙江名校联合体·月考)已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 26．(25-26高一上·安徽芜湖普通高中·月考)将函数图象上所有点的横坐标拉伸到原来的3倍，纵坐标不变，可得到函数的图象．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．(25-26高二·贵州遵义·)当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数中，是同号增函数的有（   ） A． B． C． D． 28．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为______． 29．(25-26·河北唐山第一中学·)函数的图象如图所示，已知，若恒成立，则的取值范围是__________. 30．(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)若不等式对恒成立，则______. 题型四：三角函数模型的实际应用 31．(25-26高一下·黑龙江大庆实验中学·开学考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于初始点，经过（）秒后运动到点，当第一次等于3时，正数的值为（   ） A．30 B．45 C．60 D．90 32．(25-26高一上·黑龙江佳木斯第八中学·期末)佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 33．(25-26高三上·北京顺义区·期末)如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，给出下列三个结论： ①在上的单调递减； ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为； 其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 34．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期末)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 35．(25-26高一上·宁夏六盘山高级中学·月考)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为，当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 36．(23-24高一下·内蒙古包头·期末)已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 37．(25-26高一上·福建莆田第五中学·期末)如图，以某摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为32米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，该摩天轮转动一圈的时间为分钟，则（） A． B． C． D． 38．(25-26高二上·贵州六盘水·期末)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ）    A．小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B．当时小球达到最高点 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向下运动 39．(25-26高一上·山东枣庄第三中学·期末)筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是______． （规定盛水筒在水面以上时距离为正，在水面以下是距离为负）    ①t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为； ②t分钟时，该盛水筒距水面距离为米； ③1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等； ④1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米． 40．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 题型五：三角函数在几何中的应用 41．如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   42．如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   43．(22-23高一下·湖北黄冈部分高中·期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 44．如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 45．(23-24高一上·广东广州南武中学·期末)如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的最小正周期是 C． D． 46．(22-23高一上·北京师范大学附属中学·期末)如图所示，边长为2的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着的方向运动，设为x，射线扫过的阴影部分的面积为，则下列说法中正确的是（    ） A．在上为减函数 B． C． D．图象的对称轴是 47．(24-25高一下·上海西中学·月考)如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是_____. 48．已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为__________. 49．(25-26高一·广东湛江·期末)图，在扇形中，半径，圆心角，是弧的中点，是扇形弧上的动点，满足，矩形内接于扇形. (1)用表示线段的长; (2)求矩形面积的最大值. 50．(23-24高一下·上海开放大学附属高级中学中侨分校·期中)一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)+B模型与应用 题型一：含三角函数的函数图像判断 题型二：三角函数图像平移、伸缩 题型三：三角函数与恒成立/能成立问题 题型四：三角函数模型的实际应用 题型五：三角函数在几何中的应用 题型一：含三角函数的函数图像判断 1．(25-26高一上·福建厦门第二中学·期末)函数在上的图像大致为（     ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由时的函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数，， 则， 所以为奇函数，则函数图象关于原点对称，故排除C； 当时，则， 所以，故排除B. 因为，排除C. 故选：A 2．(24-25高三下·辽宁实验中学·模拟)下面可以作为函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据的解析式得到的定义域和奇偶性，再根据的取值情况得到符合题意的选项． 【详解】由已知，定义域为，， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除B,C； 又，故D错误，A正确． 故选：A． 3．函数在区间上的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对比四个函数图像，发现处函数值不同，所以取特殊函数值排除两个选项，函数值域不同，通过求函数值域的大概范围排除不正确选项，然后的结果. 【详解】由，知A，C错误； 当时，由，知B错误． 故选：D． 4．(24-25高一下·山东桓台第一中学拓展部·)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的判断来排除两个错误选项，再利用余弦值的正负来判断一个错误选项即可. 【详解】由， 由于该函数的定义域为，所以可得是奇函数， 故函数的图象关于原点对称，所以C、D是错误的； 当时，所以此时有，故B是错误的； 所以A是正确的； 故选：A. 5．(24-25高一下·上海建平中学·期中)下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 6．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法求解. 【详解】解：由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故，故排除D项； 当时，，故，故排除B项. 故选：A. 7．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)函数图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数图象的对称性排除AC，再结合函数值大小排除B，从而得正确结论． 【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项， 但是，因此的图象关于直线对称，可排除AC， 又，排除B， 故选：D． 8．以下最符合函数的图像的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域，奇偶性，特殊值，排除选项. 【详解】当时，，所以函数的定义域为，故排除A； ，所以函数为奇函数，关于原点对称，故排除D； ，故排除B，满足条件的只有C. 故选：C 9．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】可得函数为奇函数，判断B；赋值法可判断A，C，可得结论. 【详解】因为的定义域为，且， 所以为奇函数，所以图像关于原点对称，故B不正确； 当时，，故A错误； 当时，则，可知，故C错误；. 故选：D. 10．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（    ） A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④② 【答案】A 【分析】判断已知的四个函数的奇偶性，结合它们的函数值正负情况以及零点情况，即可判断出答案. 【详解】设，定义域为R，满足， 即为偶函数，对应的图象为图， 设，定义域为R，满足， 即为奇函数，且当时，，对应的图象为图； 设，定义域为R，满足， 为奇函数，且零点为，对应的图象为图； 设，定义域为R，满足， 为奇函数，且零点为0和，对应的图象为图4. 故选：A. 题型二：三角函数图像平移、伸缩 11．(25-26高一上·湖南岳阳·期末)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点向_____平移_____个单位长度.（   ） A．左； B．左； C．右； D．右； 【答案】C 【分析】变形得，再根据平移原则即可得到答案. 【详解】， 则需把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度. 故选：C. 12．(25-26高三上·河南南阳六校联考·期末)想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据三角函数解析式之间的关系结合三角函数图像变换关系进行判断即可． 【详解】， 将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像， 故选：C． 13．把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可. 【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得到. 所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到. 又，所以. 14．(25-26高三下·湖南长沙第二十六中学等校·开学考)将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出平移后函数解析式，由函数图象关于轴对称知函数为偶函数，结合诱导公式可得的表达式，然后可得最小正值． 【详解】将函数的图像向右平移个单位， 所得图象对应的解析式为， 因为所得图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数， 因此， 解得，故的最小正值是． 15．设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简得，进而可得，利用为奇函数，可求得. 【详解】 ， 因为将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以向右平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以， 又因为为奇函数，所以，所以， 又，所以. 故选：B. 16．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图像的平移法则，结合诱导公式进行求解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位，得到图像， 所以函数， 故选：A. 17．(25-26高一下·河南南阳唐河县第一高级中学·调研)（多选题）有以下四种变换方式： ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度； 其中能将的图象变换成函数的图象的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】利用左加右减，及横向伸缩变换的规律即可求解. 【详解】先平移再伸缩，向左平移个单位长度得到， 再将每个点的横坐标缩短为原来的得到. 先伸缩再平移，每个点的横坐标缩短为原来的得到， 再向左平移个单位长度得到 18．将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【分析】求出函数的解析式，再逐一判断即可. 【详解】由题意可得， 对于A，由题意可得，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，令，得， 当时，，故C正确； 对于D，因为关于中心对称， 所以关于中心对称，故D错误. 故选：AC. 19．(25-26高一上·云南昆明·期末)已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到的图象，若，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】根据三角函数的平移变换求出的解析式，根据三角函数的有界性得到或，分别求出相应的、的取值，即可求出的最小值. 【详解】把的图象向左平移个单位长度得到， 则， 因为，可得或， 若，因此且， 所以且， 则， 故当时，取最小值，且最小值为，此时，； 若，因此且， 所以且， 则， 故当时，取最小值，且最小值为，此时，， 综上可得的最小值为. 故答案为： 20．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是______ 【答案】/ 【分析】先求得，再根据为奇函数求得，即可求解. 【详解】由题意， 因为函数为奇函数，所以，所以， 又，所以当时，有最小值是. 故答案为： 题型三：三角函数与恒成立/能成立问题 21．(25-26高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·)已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，．当时，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由交点坐标和周期关系确定函数解析式，再求其在给定区间的值域，最后根据绝对值不等式恒成立条件得出参数的取值范围. 【详解】由题意得过点，即，即， 因为，所以，此时， 令，则，， 所以或，， 即或，， 当时，相邻的前两个交点为， 当时，第3个交点为， 则， 解得，故， 当时，，则的值域为， 因为，即对恒成立， 则有，解得. 22．(25-26高一上·重庆第七中学校·月考)已知函数定义域为，满足为偶函数.当且时，不等式恒成立，设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】得出的对称性和单调性，结合以及可得. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 因为，所以， 又，所以，所以，故， 又由题意可知，在上单调递增， 则，即 故选：D 23．(25-26高三上·北京第八中学·期中)已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简得，由及进行求解． 【详解】 ， 若恒成立，则函数的一个周期为， 则，得 由，得， 而在内至少有3个零点， 则， 得，由， 得的最小值是， 故选：B 24．(25-26高一上·河北黄骅中学等校·期末)已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据恒成立求出，从而得到，设， 画出在上的图象，根据题意求出的范围，由对称性即可求出答案. 【详解】时，， 即，解得， 由题意得，解得， 故，则， 当，设， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，时，满足题意， 此时，， 即，， 故，， 两式相加得， 故. 故选：C. 25．(25-26高一上·浙江名校联合体·月考)已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，同时由，得到，代入各个选项判断是否存在，即可得到结论. 【详解】因为函数，且， 所以，则， 因为，所以， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，， ∵，∴，，∴， 即存在，使得，不符合题意； 当时，， ∵， ，∴且， 即，符合题意； 所以的取值不可能是， 故选：C 26．(25-26高一上·安徽芜湖普通高中·月考)将函数图象上所有点的横坐标拉伸到原来的3倍，纵坐标不变，可得到函数的图象．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象变换整理函数解析式，根据整体思想以及不等式的转化，结合三角函数的单调性，可得答案. 【详解】由题可知． 当时，． 故选：D 27．(25-26高二·贵州遵义·)当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数中，是同号增函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解，再判断在对应区间上是否为增函数. 【详解】A选项，得，得， 在，上单调递增，故A正确； B选项，，得， 而，故B错误； C选项，得，得， 因为在上单调递增，且， 所以在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； D选项，得；得， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 故在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 28．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 即或， 又因为，所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 29．(25-26·河北唐山第一中学·)函数的图象如图所示，已知，若恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先利用三角函数的图象与性质，求得，结合恒成立，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，解得，所以， 则， 由图象，可得，即，所以，即， 又由，可得，解得， 所以，所以， 因为恒成立， 若，则有，即，可得， 解得或，所以或，即； 若，则有，显然成立； 若，则有，即，即， 所以，所以. 综上可得，实数的取值范围. 30．(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【分析】分析当时，函数的零点及函数值的变化情况，由不等式对恒成立，可得二次函数的零点，建立关于的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的零点为和， 当时，；当时，；当时，， 不等式对恒成立， 则函数满足，有， 解得，所以.     故答案为： 题型四：三角函数模型的实际应用 31．(25-26高一下·黑龙江大庆实验中学·开学考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于初始点，经过（）秒后运动到点，当第一次等于3时，正数的值为（   ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】利用第一次等于3时求出旋转角度，再结合初始位置即可得最终位置. 【详解】因为是逆时针旋转，当第一次等于3时，即旋转了， 又因为每旋转一周需要180秒，那么旋转则需要秒. 32．(25-26高一上·黑龙江佳木斯第八中学·期末)佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数，再令，得到，利用余弦函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】设距离地面高度为，其中, 因为最高点离地面高度，最低点离地面高度， 所以，，即摩天轮的直径为，所以A错误； 又因为转一周的时间约为，所以，可得， 所以， 又由当时，，可得，即， 因为，所以，所以，所以B、C错误； 由， 令，即，即， 可得，解得， 因为，令，可得， 所以乘坐一周的过程中，有时间距地面高度超过，所以D正确. 故选：D. 33．(25-26高三上·北京顺义区·期末)如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，给出下列三个结论： ①在上的单调递减； ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为； 其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据题图和旋转周期，可以得出在时甲、乙的运动方向，从而得出、的单调性，从而判断结论①；根据，可以得出此时甲、乙的位置，再代入时刻进行计算即可判断结论②；根据甲、乙的实际旋转，可以得出旋转轨迹，再结合函数的单调性可判断结论③. 【详解】根据题意得甲的角速度，乙的角速度. ①在时：甲从与水平面平行的位置向最低点运动，单调递减； 乙从最低点向最高点运动，单调递增. 由，故单调递减，故①正确； ②要使，需同时满足且. 当时，是甲到最低点的时刻； 当时，是乙到最高点的时刻. 取，两时刻重合，，此时，故②正确； ③由题意得，，则， 代入，化简得. 令，则，对称轴， 此时，所以的最大值不是1，故③错误. 综上，正确结论的个数为2个. 故选：. 34．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期末)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 故选：C. 35．(25-26高一上·宁夏六盘山高级中学·月考)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为，当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据振幅，初相，周期，即可求解函数的解析式. 【详解】设函数的初相为，初始位置可知，，， 则，排除BC， 函数的最小正周期为60秒，且秒针为顺时针，所以，，所以， 且振幅为1，所以满足条件的解析式为. 故选：D 36．(23-24高一下·内蒙古包头·期末)已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 37．(25-26高一上·福建莆田第五中学·期末)如图，以某摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为32米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，该摩天轮转动一圈的时间为分钟，则（） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据周期结合周期公式可得，可判断A；将代入，结合题意可得，可判断B；将代入可得，可判断C；将代入可得，可判断D. 【详解】已知周期分钟，故，故A正确； 由题意知，初始位置时高度最小，代入，（）， 得，故B正确； 即；代入得， 解得，故D错误； 当时，，故C正确. 故选：ABC. 38．(25-26高二上·贵州六盘水·期末)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ）    A．小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B．当时小球达到最高点 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向下运动 【答案】ACD 【分析】分析函数的性质，可判断各选项的正确性. 【详解】对A：因为，所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故A正确； 对B：因为，所以当时小球位于平衡位置，故B错误； 对C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对D：因为，所以，因为正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D正确. 故选：ACD 39．(25-26高一上·山东枣庄第三中学·期末)筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是______． （规定盛水筒在水面以上时距离为正，在水面以下是距离为负）    ①t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为； ②t分钟时，该盛水筒距水面距离为米； ③1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等； ④1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米． 【答案】①③④ 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象根据正弦函数性质求出解析式判断①正确，②错误，求出和时 函数值判断③，根据求得一个周期内有2分钟符合题意，即可判断④. 【详解】如图，以O为原点，以射线OA方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，    设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得，， ，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ，盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即， 故，由点在第四象限可得初相，即， ， 分钟时，以射线为始边，为终边的角为， 该盛水筒距水面距离为米，故①正确，②错误； 当时，，当时，，故③正确； 由，得， 当时，，故，解得，有2分钟， 个小时有10个周期， 个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故④正确． 故答案为：①③④ 40．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 【答案】(1)； (2)4s 【分析】（1）根据最低点和最高点位置解方程组可得，再由周期性计算可得，的值； （2）令解不等式，由正弦函数单调性可得，可求出点P距离地面的高度不低于100米的时间. 【详解】（1）根据意义可知，即，解得； 因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以； 由点P的起始位置在最低点处，即可知时，， 即，可得，又，所以. （2）由（1）可知； 令，可得，即， 因此可得 由题意可得，所以， 因此或， 解得，所以； 即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米. 题型五：三角函数在几何中的应用 41．如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析直线移动过程中随的长的变化情况，通过求出一些特殊点的函数值，结合函数的单调性以及直线的位置关系判断函数图像. 【详解】由题意可知，随着从平行移动到单调递增，故可排除选项B．由题意可得等边三角形的边长为．    当时，，此时最小； 当时，，此时最大； 当时，如答图1，则，为等边三角形， 此时， 在等边中，， ； 又当时，图中的； 故当时，对应的点在图中两点连接线段的下方，结合选项可得选项D正确．    故选：D. 42．如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】借助排除法，计算、可排除C、D，计算时的情况可得时图像不是线段，可排除A. 【详解】由题意可得，， 故，由此可排除C、D； 当时点在边上，，， 所以 ，可知时图像不是线段,可排除A，故选B． 故选：B. 43．(22-23高一下·湖北黄冈部分高中·期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形的最短直角边为x，则最长直角边为，由，结合，求得x，再利用三角函数定义求解. 【详解】解：设直角三角形的最短直角边为x，则最长直角边为， 由题意得， 由，解得， 所以， 故选：A 44．如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【答案】D 【分析】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【详解】设，，则，， 所以矩形ODEH的面积， 又， 所以风景区面积， 当时，有最大值 ，故最多需要万元的修建费． 故选：D． 45．(23-24高一上·广东广州南武中学·期末)如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的最小正周期是 C． D． 【答案】AD 【分析】根据质点运动规则可得角度，利用三角函数定义可求得该质点到轴的距离，再结合周期公式可得结论. 【详解】由题可知，该质点的角速度为 ， 由于起始位置为点，沿逆时针方向运动， 设经过时间s之后所成的角为，则， 根据三角函数定义可知点的纵坐标为， 所以该质点到轴的距离，可得D正确，C错误； 由解析式可知其最小正周期为，即A正确，B错误； 故选：AD 46．(22-23高一上·北京师范大学附属中学·期末)如图所示，边长为2的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着的方向运动，设为x，射线扫过的阴影部分的面积为，则下列说法中正确的是（    ） A．在上为减函数 B． C． D．图象的对称轴是 【答案】BC 【分析】当点在的中点时，此时，即可判断B，根据阴影部分的面积变化可知的单调性，进而可判断A，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD. 【详解】对于A选项，取的中点为，当时,点在之间运动时，阴影部分的面积增加，所以在上单调递增，A选项错误； 对于B选项，当点在的中点时，此时，所以，，故B正确， 对于C选项，取BC的中点G，连接OG， 作点P关于直线OG的对称点F，则，所以， OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知， 因为，即，C选项正确； 对于D选项，由C选项可知，，则， 所以，， 所以，函数的图象不关于直线对称，D选项错误． 故选：BC 47．(24-25高一下·上海西中学·月考)如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是_____. 【答案】①③ 【分析】当时，求出的长，利用三角形的面积公式可判断①；利用函数的单调性可判断②；推导出，可判断③. 【详解】设交正方形于点，如图所示： 对于①，当时，因为，则， ,故①正确； 对于②，不妨设， 则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即， 所以，， 因为即，所以，，故②错误； 对于③，根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积， 所以，表示正方形的面积，即， 故当时，则，，且， 所以，成立，故③正确. 故答案为：①③. 48．已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为__________. 【答案】4 【分析】设，，用表示出，由勾股定理求出即可求出周长. 【详解】如图所示，设 ，， 所以，即， 由题意可得，， 所以，， 所以， 所以的周长为， 故答案为：4 49．(25-26高一·广东湛江·期末)图，在扇形中，半径，圆心角，是弧的中点，是扇形弧上的动点，满足，矩形内接于扇形. (1)用表示线段的长; (2)求矩形面积的最大值. 【答案】(1)，其中； (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到，由对称性可知⊥，表达出各边长，得到，其中； （2）由三角恒等变换得到，并根据求出最大值. 【详解】（1）连接，，由对称性可知⊥， 设交于点，交于点. 在中，，， 在中，， ，其中； （2）由（1）得矩形的面积 ， 当，即时，取得最大值，最大值为. 50．(23-24高一下·上海开放大学附属高级中学中侨分校·期中)一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)详见解析；元. 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $