第1章 阶段小测(二)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

阶段小测(二) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．“函数f(x)＝sin (2x＋θ)为偶函数”是“θ＝” 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当f(x)＝sin (2x＋θ)为偶函数时，θ＝＋kπ，k∈Z；当θ＝时，f(x)＝sin (2x＋)＝cos 2x为偶函数．综上，“函数f(x)＝sin (2x＋θ)为偶函数”是“θ＝”的必要不充分条件． 2．已知函数f(x)＝tan 的最小正周期为T，设a＝sin T，b＝cos T，c＝log8T，则(　　) A．b＜c＜a　　　　　　 B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 解析：选B.因为函数f(x)＝tan 的最小正周期为T，所以T＝＝3，因为＜3＜π，所以a＝sin T∈(0，)，b＝cos T＜0，又因为c＝log83＝＞＝log93＝，所以b＜a＜c. 3．函数f(x)＝2sin (ωx－)，f(x)max＝f()，则当ω取最小正值时，f(π)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选B.因为f(x)max＝f()，所以sin (ω－)＝1，即ω－＝＋2kπ，k∈Z，化简得ω＝5＋12k，k∈Z，所以ω的最小正值为5，此时f(x)＝2sin (5x－)，所以f(π)＝2sin (5π－)＝2sin ＝. 4．已知函数f(x)＝cos (ω＞0)的最小正周期为π，则f(x)图象的对称轴可以是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：选B.因为函数f(x)＝cos [2(ωx＋)]的最小正周期为π，ω＞0，所以＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝cos (2x＋)，令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝－，k∈Z，结合选项可知x＝符合题意． 5．已知函数h(x)＝2sin (2x＋)＋1，若对于∀x∈，不等式h(x)≤－5m－2恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．[－1，＋∞) 解析：选B.当x∈，则2x＋∈，所以sin (2x＋)∈，则h(x)∈[0，3]，因为对于∀x∈，不等式h(x)≤－5m－2恒成立，所以－5m－2≥3，解得m≤－1， 所以实数m的取值范围为(－∞，－1]. 6．已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ＜2π)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　) A.π≤φ≤ B．≤φ≤ C．≤φ<2π D．≤φ≤ 解析：选D.由x∈， 所以2x＋φ∈， 又函数f(x)在上单调递增， 所以解得≤φ≤， 即φ的取值范围为≤φ≤. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．下列函数是最小正周期为π的偶函数的是(　　) A．y＝sin (2x－) B．y＝cos (2x－) C．y＝cos (x－π) D．y＝cos (2x－π) 解析：选AD.y＝sin (2x－)＝－cos 2x是周期为π的偶函数；y＝cos (2x－)＝sin 2x是周期为π的奇函数；y＝cos (x－π)＝－cos x是周期为2π的偶函数；y＝cos (2x－π)＝－cos 2x是周期为π的偶函数． 8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω＞0)的最小值为0，且最小正周期为π，则(　　) A．b＝1 B．ω＝2 C．f(x)在区间(－，)上单调递增 D．f(x)在区间(0，)上的最大值为1 解析：选AB.对于A，B，由题意可得＝π，b－1＝0，解得ω＝2，b＝1，因此f(x)＝sin (2x＋)＋1，A，B正确；对于C，当x∈(－，)时，2x＋∈(－，)，而正弦函数y＝sin x在(－，)上不单调，因此f(x)在区间(－，)上不单调，C错误；对于D，当x∈(0，)时，2x＋∈(，π)，则当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2，D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．函数f(x)＝cos (πx＋)的单调递减区间为________．　 解析：由2kπ≤πx＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得2k－≤x≤2k＋(k∈Z)， 所以函数f(x)＝cos (πx＋)的单调递减区间为(k∈Z). 答案：(k∈Z) 10．函数y＝2sin (2x－)在区间[0，a]上的值域为，则实数a的取值范围是________．　 解析：由x∈[0，a]， 可得2x－∈， 函数y＝2sin (2x－)在区间[0，a]上的值域为， 根据正弦函数的图象知，≤2a－≤，解得≤a≤， 所以实数a的取值范围是. 答案： 11．若函数y＝2tan ωx在上单调递减，则实数ω的取值范围是________． 解析：因为函数y＝2tan x的单调递增区间为，k∈Z， 且函数y＝2tan ωx在上单调递减，所以解得－2＜ω＜0，即ω∈(－2，0). 答案：(－2，0) 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知函数y＝a－b cos (2x＋)(b＞0)的最大值为，最小值为－，g(x)＝－4a sin (bx－). (1)求a，b的值；(4分) (2)求函数g(x)的最小值，并求出对应的x的值；(4分) (3)求函数g(x)的单调递增区间．(5分) 解：(1)因为函数y＝a－b cos (2x＋)(b＞0)的最大值为，最小值为－，所以 解得 (2)由(1)知g(x)＝－4a sin (bx－)＝－2sin (x－)， 当x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，g(x)取得最小值－2， 所以g(x)的最小值为－2，对应的x的值为. (3)令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 故函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z. 13．(本小题满分15分)已知f(x)＝2sin (2x＋)＋a＋1(a为常数). (1)求f(x)的单调递增区间；(5分) (2)求f(x)的最大值及取得最大值时x的集合；(5分) (3)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值．(5分) 解：(1)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)由正弦函数性质知，当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}时， f(x)取得最大值3＋a. (3)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以sin (2x＋)∈， 即f(x)max＝3＋a＝4，解得a＝1. 14．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋)(ω＞0)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点． (1)求ω的取值范围；(6分) (2)当ω∈N＋时，若不等式|f(x)－m|＜3在区间上恒成立，求实数m的取值范围．(9分) 解：(1)令u＝ωx＋∈[，2ωπ＋]，则y＝2cos u，u∈， 因为函数f(x)＝2cos (ωx＋)(ω＞0)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点，所以函数y＝2cos u在区间上有且仅有4个零点， 结合余弦函数的图象(图略)与性质可得≤2ωπ＋＜，解得≤ω＜， 所以ω的取值范围为. (2)当ω∈N＋时，由(1)可得ω＝2， 所以f(x)＝2cos (2x＋)， 因为不等式|f(x)－m|＜3在上恒成立， 所以m－3＜f(x)＜m＋3在上恒成立，又因为当x∈时，2x＋∈，　 所以cos (2x＋)∈， 所以2cos (2x＋)∈， 即所以－1＜m＜3－，故实数m的取值范围为(－1，3－). 学科网（北京）股份有限公司 $