第1章 §7 第2课时 正切函数的图象与性质 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为(　　) A．y＝tan 2x B．y＝tan (x＋) C．y＝cos (2x＋) D．y＝sin (2x＋) 解析：选C.y＝tan 2x的最小正周期为，故A错误； y＝tan (x＋)为非奇非偶函数，故B错误； y＝cos (2x＋)＝sin 2x，易知为奇函数，且最小正周期为＝π，故C正确； y＝sin (2x＋)＝cos 2x为偶函数，故D错误．故选C. 2．函数f(x)＝tan x在上的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．－ 解析：选D.由正切函数y＝tan x的单调性可知，f(x)＝tan x在[－，]上单调递增，所以最小值为f(x)min＝tan (－)＝－.故选D. 3．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为函数y＝tan x的图象的对称中心为(，0)，k∈Z，所以函数y＝2tan (x－)的图象的对称中心为(＋，0)，k∈Z，所以a＝＋，k∈Z，又a>0，所以a的最小值为. 4．与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 解析：选C.由正切函数图象及性质得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，结合选项得直线x＝为函数y＝tan (2x＋)的图象的一条渐近线，即直线x＝与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交． 5．若a＝tan 7，b＝sin ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析：选B.由于<7－2π＜，故a＝tan 7＝tan (7－2π)∈，而＞＝sin ＝b，故a＞b，又c＝tan ＝tan ＝tan ＝，即b<a<c.故选B. 6．(多选)(2025·亳州期中)已知函数f(x)＝－，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)有最小值 D．f(x)在(，)上单调递增 解析：选BD.对于A，由f(x＋)＝f(x)，得f(x)的一个周期为，所以A错误；对于B，由题意得 即解得x≠，k∈Z， 所以f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，所以B正确；对于C，由x≠，k∈Z，得tan 2x≠0，可得f(x)＝－∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以C错误；对于D，由x∈(，)，得2x∈(，π)，则函数y＝tan 2x单调递增，所以f(x)在(，)上也单调递增，所以D正确． 7．不等式|tan x|≤的解集是______________________________． 解析：由|tan x|≤可得－≤tan x≤， 则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 答案： 8．函数y＝ 的定义域为_____________________________________． 解析：要使函数y＝ 有意义，则tan x－≥0，即tan x≥， 所以＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z，即函数y＝的定义域为 . 答案： 9．已知函数f(x)＝2tan ＋1(ω＞0)的最小正周期为2π，则f(x)图象的一个对称中心的坐标为________．　 解析：根据T＝＝2π，得ω＝， 则f(x)＝2 tan ＋1， 令＋＝(k∈Z)，即＝－(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z).所以f(x)图象的一个对称中心的坐标为. 答案：(答案不唯一，横坐标只需符合x＝kπ－，k∈Z且纵坐标为1即可) 10．(13分)已知函数f(x)＝3tan (x－).求： (1)函数f(x)的定义域及最小正周期；(6分) (2)函数f(x)的单调区间．(7分) 解：(1)由x－≠kπ＋，k∈Z得x≠2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，又T＝＝＝2π，所以函数f(x)的最小正周期是2π. (2)由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，无单调递减区间． 11．(2025·九江期中)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　) A．(2，)　　　　　 B． C．(，) D． 解析：选A. 设f(a)＝f(b)＝f(c)＝t，作出y＝f(x)的简图，如图，不妨设a＜b＜c，由正弦函数的对称性可知a＋b＝1，由图可知0＜f(c)＜1，即0＜tan πc＜1，解得1＜c＜，所以a＋b＋c的取值范围是(2，). 12．(多选)关于函数f(x)＝tan |x|＋|tan x|，下述四个结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间(0，)上单调递增 C．f(x)在[－π，π]，x≠±上有3个零点 D．f(x)的最小正周期为π 解析：选AB.f(x)＝tan |x|＋|tan x|的定义域为，关于原点对称，f(－x)＝tan |－x|＋|tan (－x)|＝tan |x|＋|tan x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；当0＜x＜时，f(x)＝tan x＋tan x＝2tan x单调递增，B正确；当＜x≤π时，f(x)＝tan x－tan x＝0，所以f(x)在(，π]上有无数个零点，则C错误；f(－)＝tan＋tan＝2，f(－＋π)＝f()＝tan＋＝－1＋1＝0，所以π不是f(x)的最小正周期，D错误． 13．(13分)(2025·济源月考)已知函数f(x)＝2tan (ωx＋)，ω＞0. (1)若ω＝，求函数f(x)的定义域及最小正周期；(6分) (2)若函数f(x)在区间(0，)上单调递增，求ω的取值范围．(7分) 解：(1)当ω＝时，f(x)＝2tan (x＋)，则函数f(x)的最小正周期T＝＝3π.由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋3kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为. (2)由x∈(0，)，得ωx＋∈(，ω＋)，由函数f(x)在区间(0，)上单调递增，得ω＋≤，解得ω≤，又ω＞0，所以ω的取值范围为. 14．(15分)对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“G函数”． (1)试判断f(x)＝|cos x|(x≠0)是否为“G函数”，简要说明理由；(6分) (2)若f(x)＝log2(tan x＋m)＋1是定义在区间∪上的“G函数”，求实数m的取值范围．(9分) 解：(1)根据题意，f＝0＝f， 可得f＋f＝0，故f(x)＝|cos x|是“G函数”． (2)因为f(x)为“G函数”，所以存在x∈∪，使f(x)＋f(－x)＝0， 即log2(tan x＋m)＋1＋log2(－tan x＋m)＋1＝0， 即m2－tan2x＝在∪上有解． 因为tanx∈[－，0)∪(0，]，所以m2＝tan 2x＋∈，可得＜|m|≤，结合tan x＋m＞0在∪上恒成立，可得m＞(－tan x)max＝，综上所述，＜m≤，即实数m的取值范围是. 15.函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)经过点(，－1)，图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则f()＝________． 解析：由题图可知T×3＝6π， 即×3＝6π，解得ω＝， 则f(x)＝tan (x＋φ)， 依题意，f()＝tan (＋φ)＝－1， 由于－＜φ＜，－＜＋φ＜， 所以＋φ＝－，φ＝－， 所以f(x)＝tan (x－). 则f()＝tan (－) ＝tan ＝tan ＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $