第1章 8 三角函数的简单应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§8　三角函数的简单应用 1.C　相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点. 2.D　因为周期T＝，所以＝＝2π，则l＝ cm. 3.C　当t＝时，s1＝5sin（＋）＝5sin＝－5，s2＝10 cos＝10×（－）＝－5，故s1＝s2. 4.D　由题知，t s转过的圆心角为，过点O作AB的垂线，则AB＝2×5×sin＝10sin.故选D. 5.AB　由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵ ＝14－6，∴T＝16，A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.∵图象经过点（14，30），∴30＝10sin＋20，∴sin＝1，∴φ可以取，∴y＝10sin（x＋）＋20（0≤x＜24），B正确，C错；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错.故选A、B. 6.100　800　解析：由题图，得解得 7.9 000　解析：将表格中的数据分别代入y＝500sin（ωx＋φ）＋9 500（0＜ω＜π，｜φ｜＜π），可得ω＝，φ＝0，所以y＝500sin x＋9 500，将x＝3代入可得y＝9 000. 8.10　18　解析：依题意，当f（t）＞11时，实验室需要降温.所以10－2sin＞11，即sin＜－.又0≤t＜24，所以＜t＋＜，即10＜t＜18. 9.解：（1）由题意知解得 易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，则y＝8sin＋6. 易知8sin＋6＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又｜φ｜＜π，得φ＝－， 所以y＝8sin＋6（x∈[0，24））. （2）当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin ＋6＜8sin ＋6＝10. 所以届时学校后勤应该开空调. 10.D　设位移x关于时间t的函数关系式为x＝f（t）＝Asin（ωt＋φ）（ω＞0），根据题中条件，可得A＝3，周期T＝＝3，故ω＝＝，由题意可知当t＝0时，f（t）取得最大值3，故3sin φ＝3，则φ＝＋2kπ（k∈Z），所以x＝3sin（t＋＋2kπ）＝3sin（t＋）. 11.y＝0.2sin t＋3.8（t＞0）（答案不唯一） 解析：假设三角函数模型为y＝Asin ωt＋b，由题意知，A＝0.2，b＝3.8，T＝10，∴ω＝＝，∴y＝0.2sin t＋3.8（t＞0）. 12.　解析：取KL的中点N并连接MN（图略），则MN＝，即A＝，由题意知T＝2，∴ω＝π.∵函数为偶函数，0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝cos πx，∴f＝cos ＝. 13.解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm，所以A＝＝5.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，所以周期为2，即T＝2＝，所以ω＝π，所以h＝5sin（πx＋），t≥0. （2）由题意，当t＝时，小球第一次到达最高点，以后每隔一 个周期都出现一次最高点，因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，所以49T＋≤t0＜50T＋. 因为T＝2，所以98≤t＜100， 所以t0的取值范围为［98，100）. 14.ACD　建立如图所示的平面直角坐标系，设φ（0≤φ＜2π）是以x轴的非负半轴为始边，OP0（P0表示点P的起始位置）为终边的角，由点P的起始位置在最高点知，φ＝，又由题知OP在t min内转过的角为t，即，所以以x轴的非负半轴为始边，OP为终边的角为＋，即点P的纵坐标为40sin，所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h（t）＝50＋40sin＝50＋40cos.当t＝10时，h＝50＋40cos π＝10，A正确；当转速减半时，周期是原来的2倍，B错误；h（17）＝50＋40cos＝50＋40cos，h（43）＝50＋40cos＝50＋40cos，C正确；由h（t）＝50＋40cos≥70得cos≥，解得2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，即20k－≤t≤20k＋，k∈Z，因此一个周期内高度不低于70 m的时长为 min，D正确.故选A、C、D. 15.解：（1）由图象，可知A＝，ω＝＝＝，将B代入y＝sin中， 得＋φ＝2kπ＋（k∈Z），即φ＝2kπ－（k∈Z）. 因为｜φ｜＜， 所以φ＝－， 故y＝sin，x∈[4，8]. （2）在y＝sin中，令x＝4，得D（4，4），从而得曲线OD的方程为y＝2（0≤x＜4），则P， 所以矩形PMFE的面积为 S＝×＝， 即儿童乐园的面积为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §8　三角函数的简单应用 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过个周期后，乙的位置将移至（　　） A.x轴上　B.最低点　C.最高点　D.不确定 2.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式是s＝3cos（t＋），其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t（s）离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由s1＝5sin（2t＋），s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是（　　） A.s1＞s2 B.s1＜s2 C.s1＝s2 D.不能确定 4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60]时，A，B两点间的距离为d（单位：cm），则d＝（　　） A.5sin B.10sin C.5sin D.10sin 5.〔多选〕如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（0＜φ＜π），则下列说法正确的是（　　） A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C.该函数的解析式是y＝10sin＋20（6≤x≤14） D.这一天的函数关系式也适用于第二天 6.如图，某动物种群数量1月1日（t＝0时）低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照曲线y＝Asin（ωt＋φ）＋b变化，则A，b的值分别为　　　　，　　　　. 7.某市房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin（ωx＋φ）＋9 500（0＜ω＜π，｜φ｜＜π）.已知第一、二季度的平均单价如表所示， x 1 2 y 10 000 9 500 则此楼群在第三季度的平均单价大约是　　　　元. 8.某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系f（t）＝10－2sin.要求实验室温度不高于11 ℃，则实验室需要降温的时间段是　　　　时到　　　　时. 9.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的图象.2024年3月下旬北京地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃. （1）求出北京地区该时段的温度函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π，x∈[0，24））的表达式； （2）3月29日上午9时某高中将举行模拟考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 10.如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时，则物体相对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s，t≥0）之间的函数关系式为（　　） A.x＝sin（t－） 　 B.x＝3sin C.x＝sin（3t＋） D.x＝3sin（t＋） 11.某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为　　　　. 12.设偶函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，｜KL｜＝1，则f＝　　　　. 13.如图，弹簧上挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式h＝Asin（ωx＋）确定，其中A＞0，ω＞0，t≥0.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm. （1）求小球相对平衡位置的高度h（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系； （2）小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围. 14.〔多选〕如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中，下列说法正确的是（　　） A.经过10 min点P距离地面10 m B.若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的 C.第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同 D.摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min 15.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数y＝k（k＞0）的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，x∈[4，8]）的图象，图象的最高点为B，且DF⊥OC，垂足为点F. （1）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $