第1章 §5 5.1 正弦函数的图象与性质再认识 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．下列函数中，一个周期为π的奇函数是(　　) A.y＝sin x B．y＝sin 2x C.y＝cos x D．y＝sin 2x＋1 解析：选B.函数y＝sin x与y＝cos x的最小正周期均为2π，排除A，C；y＝sin 2x是奇函数，且sin 2(x＋π)＝sin 2x，即y＝sin 2x的一个周期为π，B正确；y＝sin 2x＋1不是奇函数，排除D. 2．当x∈[－π，π]时，函数y＝3cos 的单调递减区间为(　　) A.[－π，0] B.[0，π] C. D.和 解析：选C.由题意可知y＝3cos ＝－3sin x，因为正弦函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，结合x∈[－π，π]，当k＝0时，符合题意．则当x∈[－π，π]时，函数y＝3cos 的单调递减区间为.故选C. 3．函数y＝2sin x＋1的值域是(　　) A.[1＋，3] B．[1＋，3] C.[1－，1＋] D．[－1，3] 解析： 选B.画出函数y＝2sin x＋1的图象如图所示， 当x＝或x＝时，最小值为1＋；当x＝时，最大值为3.故所求值域为[1＋，3].故选B. 4．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3－1，若f(1)＝2，则f(－1)＝(　　) A.－2 B．2 C.－4 D．4 解析：选C.由函数解析式可知，f(x)＋f(－x)＝a sin x＋bx3－1＋a sin (－x)＋b(－x)3－1＝asin x＋bx3－1－a sin x－bx3－1＝－2，即f(x)＋f(－x)＝－2，可知f(1)＋f(－1)＝－2，则f(－1)＝－2－f(1)＝－4. 5．方程sin x＝的根的个数是(　　) A.7 B．8 C.9 D．10 解析：选A.在同一平面直角坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示． 根据图象可知y＝与y＝sin x有7个交点，即方程有7个根．故选A. 6．(多选)若函数f(x)＝1－sin2x＋2sinx在区间[－，θ]上的最大值为2，则θ的可能取值为(　　) A.0 B． C． D．π 解析：选CD.因为f(x)＝－sin2x＋2sinx＋1＝2－(sin x－1)2，所以当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝2，又因为x∈，所以∈，所以θ的可能取值为，π.故选CD. 7．设a＝cos 29°，b＝sin 144°，c＝sin 50°，则a，b，c的大小关系为____________．(用“<”连接) 解析：a＝cos 29°＝sin 61°，b＝sin 144°＝sin 36°，c＝sin 50°，因为正弦函数y＝sin x在0°<x<90°上单调递增，所以sin 36°<sin 50°<sin 61°，即b<c<a.　 答案：b<c<a 8．用五点(画图)法作函数y＝1＋2sin x，x∈的图象时，最高点为________． 解析：由五点(画图)法作图知，当x∈[－2π，0]时，所取的五点分别为(－2π，1)，，(－π，1)，，(0，1)，故最高点为. 答案： 9．函数y＝－3sin x＋4(x∈[－π，π])的单调递增区间为________． 解析：函数y＝－3sin x＋4的单调递增区间，即y＝sin x 的单调递减区间，应为，k∈Z. 结合x∈[－π，π]，可得y＝－3sin x＋4的单调递增区间为和. 答案：和 10．(13分)利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的取值范围． 解：首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示， 作直线y＝，根据特殊角的正弦值， 可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为和.观察图象可知，在[0，2π]上，当<x≤或≤x<时，不等式<sin x≤成立．所以<sin x≤的解集为{x|＋2kπ<x≤＋2kπ或＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z}． 11．函数f(x)＝log2(2sin x－)的定义域为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：选A.函数f(x)＝log2(2sin x－)中，令2sin x－>0，得sin x>，解得＋2kπ＜x<＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为，k∈Z.故选A. 12．(多选)设函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则以下四个结论正确的是(　　) A.b－a的最小值为 B.b－a的最大值为 C.a不可能等于2kπ－(k∈Z) D.b不可能等于2kπ－(k∈Z) 解析：选ABC.由图象知，b－a的最大值为，故B正确； 在b－a取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a，b]内，所以b－a的最小值为，b可能等于2kπ－(k∈Z)，故A正确，D错误； 若a＝2kπ－(k∈Z)，则由图象可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为－1，所以a不可能等于2kπ－(k∈Z)，故C正确．故选ABC. 13．(2025·南阳月考)若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．　 解析：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝ 如图，则k的取值范围是1<k<3. 答案：(1，3) 14．(15分)如图是用“五点(画图)法”作出的函数y＝A sin x＋B，x∈[0，2π]的图象，回答下列问题． (1)求A，B的值；(4分) (2)求该函数的值域，并求y取最小值时x的值；(5分) (3)当y＝0时，求x的值组成的集合．(6分) 解析：(1)由题图知，当x＝0时，y＝；当x＝时，y＝. 所以 解得 (2)由题图知，该函数的值域为， 当ymin＝－时，x＝. (3)由(1)知y＝sin x＋， 当y＝0时，sin x＝－， 因为x∈[0，2π]， 所以x＝π＋＝或x＝2π－＝. 所以x的值组成的集合为. 15．(15分)已知函数f(x)＝－sin2x－sinx＋a＋1. (1)当f(x)＝0有解时，求实数a的取值范围；(6分) (2)当x∈R时，总有1≤f(x)≤，求实数a的取值范围．(9分) 解：(1)由已知得，f(x)＝－sin2x－sinx＋a＋1＝0，所以a＝sin2x＋sinx－1＝－∈.所以实数a的取值范围为. (2)当x∈R时，sin x∈[－1，1]，由已知得，1≤f(x)＝－sin2x－sinx＋a＋1≤恒成立，则当a≥sin2x＋sinx恒成立时，有a≥(sin2x＋sinx)max＝＝－＝2；当a≤sin2x＋sinx＋恒成立时，有a≤＝＝3. 所以实数a的取值范围为[2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $