第1章 §3 弧度制 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.＝＋2π，是第一象限角，故是第一象限角．故选A. 2．在半径为9的圆中，100°的圆心角所对弧长为(　　) A．900 B．5π C．π D．10π 解析：选B.100°＝100×＝，则100°的圆心角所对弧长为×9＝5π. 3．与－330°角终边相同的角的集合为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.－330°角的弧度数为－，故与其终边相同的角的集合为＝.故选B. 4．若三角形的三个内角之比为4∶5∶6，则该三角形中最大内角的弧度数是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.设三角形的三个内角的弧度数分别为4x，5x，6x，则有4x＋5x＋6x＝π，解得x＝，所以最大内角的弧度数为6x＝.故选C. 5．(2025·宿州月考)某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为2 cm，则大轮每秒转过的弧长是(　　) A．12π cm B．6π cm C． cm D． cm 解析：选D.由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为＝3，因此大轮每秒转的弧度数为＝，所以大轮每秒转过的弧长是×2＝ cm. 6．(多选)孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分(如图2)，已知AD∥BC，AD＝2AB＝2CD＝2BC＝4，则(　　) A．∠ABC＝ B．弧AD的长为 C．该平面图形的周长为6＋ D．该平面图形的面积为－ 解析：选ACD. 如图，分别延长AB与DC交于点O，易得△AOD∽△BOC，得AO＝DO＝4，所以△AOD为等边三角形，∠BOC＝∠BAD＝，所以∠ABC＝，得＝AO·∠BOC＝，该平面图形的周长为6＋，面积为·AO－×2×＝－.故选ACD. 7．－135°化为弧度为________，化为角度为________． 解析：－135°＝－135×＝－；＝×＝660°. 答案：－　660° 8．已知弧长为π的弧所对的圆心角为20°，则这条弧所在圆的半径为________． 解析：由于20°＝，所以根据弧长公式得这条弧所在圆的半径为＝9. 答案：9 9.如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为________． 解析： 如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠DCF＝，又∠BCD＝＝，所以∠BCF＝∠BCD－∠DCF＝－＝，所以＝×3＝. 答案： 10．(13分)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 解：如题图1，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－， 而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 . 如题图2，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z， 又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 11．如图所示，已知⊙O的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形ABC的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是(　　) A. B．－ C． D．－ 解析： 选D.设⊙O的半径为r，劣弧的长为l，过圆心O作OD⊥AB于点D，则D为AB边的中点． 因为AO＝r，∠OAD＝30°， AD＝r·cos 30°＝r， 所以边长AB＝2AD＝r， 所以劣弧的长l＝AB＝r. 又α是负角，所以α＝－＝－＝－. 12．(2025·南阳期中)如图是某月牙形吊坠(图中弧APB和弧AQB所围成的图形)的平面图，其中弧APB是以AB为直径的半圆，弧AQB是以O为圆心的一段圆弧．若∠AOB＝，|AB|＝2，则该月牙形吊坠平面图的面积是____________． 解析：半圆ABP的面积为π()2＝，由于∠AOB＝，|AB|＝2，故|AO|＝2，弓形AQB的面积为S扇形AOB－S△AOB＝××22－×2×1＝－，故所求面积为S半圆ABP－S弓形AQB＝－(－)＝＋. 答案：＋ 13．(15分)已知角α＝2 040°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(7分) (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．(8分) 解：(1)α＝2 040°＝2 040×＝， 又＝＋5×2π，所以α＝＋5×2π， 所以α与的终边相同，又π<<， 因此α是第三象限角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，又γ∈[－5π，0)，所以当k＝－3时，γ＝－；当k＝－2时，γ＝－； 当k＝－1时，γ＝－. 所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－，－，－. 14.(15分)如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α(0<α<π). (1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；(7分) (2)当α＝2时，求的中点E到弦BC的距离．(8分) 解：(1)延长BA，CD相交于点O，设内圆弧半径为r，则AB＝CD＝OA＝OD＝r， 所以＝rα，＝2rα， 所以rα＋2rα＋2r＝2l，则r＝， 所以S扇环＝S扇形OBC－S扇形OAD＝×2rα×2r－×rα×r＝αr2＝≤＝， 当且仅当9α＝，即α＝(负值舍去)时，S扇环取得最大值，最大值为. (2)连接OE，设OE交BC于点F，则由垂径定理得OE⊥BC，则的中点E到弦BC的距离为EF，∠BOE＝∠BOC＝1， 由(1)知，r＝＝＝， 所以OF＝cos 1， 所以EF＝OE－OF＝2r－cos 1＝(1－cos 1). 所以点E到弦BC的距离为(1－cos 1). 15．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省略不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00，如果一个半径为3的扇形的面积为，则其圆心角用密位制表示为(　　) A．14－40 B．12－50 C．4－00 D．2－00 解析：选D.依题意，设扇形的圆心角为α，α所对的密位为n，则α×32＝， 解得α＝，由题意可得＝， 解得n＝×6 000＝200， 因此该扇形圆心角用密位制表示为2－00. 学科网（北京）股份有限公司 $