第1章 3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§3　弧度制 3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算 1.C　由于1°＝ rad，所以－120°＝－120×＝－，故选C. 2.A　＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角. 3.C　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分（包含边界），k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分（包含边界）.故选C. 4.C　设所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝，所以α＝，所以AB＝2Rsin＝2Rsin ＝2R×＝R，故选C. 5.CD　弧度和角度不能在同一个表达式中，A、B错误；与终边相同的角的集合是{α｜α＝2kπ＋，k∈Z}＝{α｜α＝m·360°＋45°，m∈Z}，经验证，C、D正确. 6.AC　与角－π的终边垂直的角可分为两类：一类是与角的终边相同，其表示形式为＋2kπ（k∈Z）；另一类是与角的终边相同，其表示形式为＋2kπ（k∈Z）.故当α∈（2π，4π）时，满足条件的角α可以是π或π，故选A、C. 7.－π　660°　解析：－105°＝－105×＝－π，π＝π×＝660°. 8.3　解析：设圆的半径为r，弧长为l，其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍. 9.[－4，－π]∪[0，π]　解析：当k＝0时，A＝{x｜0≤x≤π}，此时A∩B＝{x｜0≤x≤π}；当k＝－1时，A＝{x｜－2π≤x≤－π}，此时A∩B＝{x｜－4≤x≤－π}；当k≤－2或k≥1时，A∩B＝∅.综上可得A∩B＝{x｜－4≤x≤－π}∪{x｜0≤x≤π}. 10.解：（1）因为α＝－920°＝－3×360°＋160°，160°＝，所以α＝－920°＝（－3）×2π＋. 因为角α与终边相同，所以角α的终边在第二象限. （2）因为角γ与α的终边相同， 所以设γ＝2kπ＋（k∈Z）. 因为γ∈（－4π，－3π）， 由－4π＜2kπ＋＜－3π，可得－＜k＜－. 又因为k∈Z，所以k＝－2. 所以γ＝－4π＋＝－. 11.B　由题意可得OB＝OC＝1，由弧长与半径的比值等于圆心角，可得当∠BOC所对的的长为时，∠BOC＝，所以由勾股定理可得BC＝，即当∠BOC所对的的长为时，∠BOC的“古典正弦”为，故选B. 12.BC　1 s时，点A按逆时针方向运动1 rad，点B按逆时针方向运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为－1，A不正确； s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，B正确； s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，C正确；设t s时，点A、点B在单位圆上第一次重合，则t＋＝2t，解得t＝，D不正确. 13.2∶3　解析：如图，设内切圆半径为r，则r＝，所以S圆＝π·＝，S扇＝a2·＝，所以＝. 14.解：（1）∵△OAB是顶角为，腰长为2的等腰三角形， ∴A＝B＝，OM＝ON＝1. 方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2×＝4＋， 方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1×＝2＋， ∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为＝2－. （2）方案一中扇形的面积S1＝××22＝， 方案二中扇形的面积S2＝××12＝， ∴S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等. 15.＝　解析：不妨设AB＝－1，则BC＝2，所以l＝＝×（－1），ED＝2－（－1）＝3－，所以m＝＝×（3－），CG＝－1－（3－）＝2－4，所以n＝＝×（2－4）＝（－2）π，所以m＋n＝×（3－）＋×（2－4）＝×（－1）＝l. 16.解：（1）依题意，如图所示，其中CD＝2，∠AOB＝， 令圆弧的半径为R， 所以OD＝Rcos＝，即CD＝OC－OD＝R－＝2，解得R＝4， 所以“弧田”面积S＝S扇形OACB－S△AOB＝πR2－·OD·AB. 又AB＝2Rsin＝R，所以S＝－4. （2）由题意知弧长ACB为αr，即该扇形周长为αr＋2r＝c， 扇形面积S＝r2， 所以S＝＝≤＝，当且仅当α＝，即α＝2时，等号成立，故当α为2弧度时，该扇形面积最大. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1　弧度概念　3.2　弧度与角度的换算 1.－120°化为弧度为（　　） A.－π　　B.－　　C.－π　　D.－π 2.角终边所在的象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.集合中角所表示的范围（阴影部分）是（　　） 4.如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（　　） A.R B.R C.R D.2R 5.〔多选〕与终边相同的角的表达式中，正确的是（　　） A.45°＋2kπ，k∈Z B.k·360°＋，k∈Z C.k·360°＋45°，k∈Z D.2kπ－π，k∈Z 6.〔多选〕若2π＜α＜4π，且角α的终边与角－π的终边垂直，则α＝（　　） A.π B.π C.π D.π 7.－105°化为弧度为　　　　，化为角度为　　　　. 8.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的　　　　倍. 9.已知集合A＝{x｜2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x｜－4≤x≤4}，则A∩B＝　　　. 10.已知角α＝－920°. （1）把角α写成2kπ＋β（0≤β＜2π，k∈Z）的形式，并确定角α的终边所在的象限； （2）若角γ与α的终边相同，且γ∈（－4π，－3π），求角γ. 11.在如图所示的单位圆O中，当∠BOC的取值范围为（0，π）时，∠BOC的“古典正弦”为弦BC的长.根据以上信息，当∠BOC所对的的长为时，∠BOC的“古典正弦”为（　　） A.2 B. C.2sin D.sin 2 12.〔多选〕如图，A，B是单位圆上的两个点，点B的坐标为（1，0），∠xOA＝，点A以1 rad/s的角速度、点B以2 rad/s的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动，则（　　） A.1 s时，∠BOA的弧度数为＋3 B. s时，扇形AOB的弧长为 C. s时，扇形AOB的面积为 D. s时，点A、点B在单位圆上第一次重合 13.扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为　　　　. 14.在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案. （1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； （2）比较两种方案中扇形面积的大小. 15.斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD（＝）中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作；…；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记，，的长度分别为l，m，n，则l　　　m＋n（填“＞”“＜”或“＝”）. 16.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角的弧度数为，矢为2时，求“弧田”（如图阴影部分所示）的面积； （2）已知该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，扇形周长是一定值c（c＞0），当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $