第6章 阶段小测(七)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦立体几何核心内容，涵盖空间位置关系、空间角及轨迹问题，通过从基础判断（如面面平行下的线线关系）到综合证明（如线面平行、面面垂直）的梯度设计，搭建逐步深化的学习支架。 其亮点在于以具体几何体为载体，通过逻辑推理（如线面垂直判定）和几何直观（如正方体中点的轨迹）培养数学思维与空间观念，规范的证明过程（如解答题步骤）提升数学语言表达能力。学生能强化空间思维与推理能力，教师可依托分层训练提升教学效率。

阶段小测(七) 1 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知平面α，β和直线a，b，且α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是(　　) A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．相交 解析：因为α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面． √ 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 11 2 3 阶段小测 √ 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与直线BB1垂直的面的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：如图所示，仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线BB1垂直． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 A．空间四边形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 解析：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD. 因为BC⊂平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜BC，所以四边形EFBC是梯形． √ 3.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是(　　) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 √ 6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝AC＝BC，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC夹角的余弦值为(　　) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 解析：取PC的中点E，连接EO，可得EO∥BC， 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC.又EO∥BC，所以EO⊥平面PAC， 所以∠ECO即为直线CO与平面PAC的夹角．设PA＝AC＝BC＝2，则EO＝1， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 √ 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知点P，直线l，m，n，平面α，β，则下列命题正确的是(　　) A．若l∥m，m⊂α，则l∥α B．若l⊥m，l⊥n，m∩n＝P，m⊂α，n⊂α，则l⊥α C．若l∥α，α∩β＝m，l⊂β，则l∥m D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 解析：对于A，l∥m，m⊂α，则l⊂α或l∥α，故A错误； 对于B，若l⊥m，l⊥n，m∩n＝P，m⊂α，n⊂α，则l⊥α，这是线面垂直的判定定理，故B正确； 对于C，若l∥α，α∩β＝m，l⊂β，则l∥m，这是线面平行的性质定理，故C正确； 对于D，若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，这是面面垂直的性质定理，故D正确． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 8．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD的中点，沿AE将△ADE折起，使点D到达点P的位置，并满足PA⊥PB，如图2，则下列结论中正确的是(　　) A．平面PAB⊥平面PBE B．平面PAE⊥平面PBE C．平面PAB⊥平面ABCE D．平面PAE⊥平面ABCE √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 解析：因为PA⊥PB，PA⊥PE，且PB∩PE＝P，PB，PE⊂平面PBE，所以PA⊥平面PBE.又PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBE，平面PAE⊥平面PBE，故A，B正确； 如图1，取AB的中点F，连接DF，交AE于点G，则△ADE和△ADF均为等腰直角三角形，所以∠DAE＝∠ADF＝45°， 所以∠AGD＝90°，即DF⊥AE， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对． 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 解析：因为AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC， 所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD. 又BC⊥CD，AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC. 又CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC. 故互相垂直的平面有3对． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足_________________时，有MN∥平面B1BDD1. M在线段FH上 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 又FH∥D1D，同理可得FH∥平面B1BDD1， 又HN∩FH＝H，HN，FH⊂平面FHN，所以平面FHN∥平面B1BDD1. 因为点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，平面FHN∩平面EFGH＝FH，所以M∈FH. 解析：连接HN，FH，FN. 由题易知，HN∥BD，HN⊄平面B1BDD1，BD⊂平面B1BDD1， 所以HN∥平面B1BDD1. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 解析：分别取AC，A1C1的中点O和O1，连接OO1，BO，B1O1，如图所示，因为四边形ACC1A1是等腰梯形，所以OO1⊥AC， 又平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，OO1⊂平面ACC1A1， 所以OO1⊥平面ABC， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12.(本小题满分13分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点． (1)求证：BC∥平面PAD；(6分) 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD， 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 (2)M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：AP∥HG.(7分) 证明：连接AC，交BD于O，连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是AC的中点，又因为M是PC的中点，所以MO∥AP. 又因为MO⊂平面BDM，AP⊄平面BDM，所以AP∥平面BDM. 又因为AP⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM＝HG，所以AP∥HG. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 13.(本小题满分15分)如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是弧BC上异于B，C的点． (1)求证：平面ACM⊥平面ABM；(7分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 解：证明：由题设，平面ABCD⊥平面BMC，平面ABCD∩平面BMC＝BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面BMC，又MC⊂平面BMC，故AB⊥MC， 由圆的性质知BM⊥MC，AB∩BM＝B，且AB，BM⊂平面ABM，故MC⊥平面ABM， 又MC⊂平面ACM，所以平面ACM⊥平面ABM. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 (2)当二面角A-CM-B的大小为60°时，求直线CA与平面ABM夹角的正弦值．(8分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 14．(本小题满分15分)如图，在等腰梯形BCDP中，BC∥PD，AB⊥PD于点A，PD＝3BC且AB＝BC＝1.沿AB把△PAB折起到△P′AB的位置，使∠P′AD＝90°. (1)求证：CD⊥平面P′AC；(7分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 解：证明：因为∠P′AD＝90°，所以P′A⊥AD. 因为在等腰梯形BCDP中，AB⊥PD， 所以AB⊥P′A. 又AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD， 所以P′A⊥平面ABCD. 又因为CD⊂平面ABCD，所以P′A⊥CD. 又因为AB⊥BC，PD＝3BC，AB＝BC＝1， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 (2)线段P′A上是否存在点M，使得BM∥平面P′CD.若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．(8分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 阶段小测 所以S梯形ACC1A1＝×(4＋2)OO1＝6，所以OO1＝2. 又△ABC和△A1B1C1都是直角三角形，AC＝4，A1C1＝2，所以OB＝2，O1B1＝1， 在直角梯形OBB1O1中，BB1＝＝＝3. $