第6章 §6 6.2 柱、锥、台的体积（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的体积计算，通过“堆书实验”导入观察体积变化，从长方体、正方体、圆柱体积公式推导柱体体积通式，搭建从具体到抽象的知识支架，衔接锥体、台体体积公式学习与应用。 其亮点在于以实验探究培养数学眼光，通过问题链引导逻辑推理（数学思维），例题采用等积法、割补法（如补形法求截圆柱体积）强化数学语言表达，课堂小结系统梳理方法。助力学生发展空间观念与解题能力，为教师提供层次分明的教学流程与多样化实例。

6．2　柱、锥、台的体积 1 新课导入 学习目标 取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积的变化？ 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式． 2．会利用柱体、锥体、台体的体积公式求有关几何体的体积． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　柱、锥、台的体积公式 思考　长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式． 提示：V长方体＝abc(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)，V正方体＝a3(a为正方体的棱长)，V圆柱＝πr2h(r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高)，根据这些体积公式可知，设柱体的底面面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh. 返回导航 [知识梳理] 几何体 公式 说明 柱体 V柱体＝______ S为柱体的底面积，h为柱体的高 锥体 V锥体＝________ S为锥体的底面积，h为锥体的高 台体 V台体＝___________________ S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高 Sh 返回导航 √ √ 返回导航 (2)已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为(　　) A．4∶π B．π∶4 C．π∶2 D．2∶π √ 返回导航 返回导航 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量． 返回导航 [跟踪训练1] 一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝12，当底面ABC水平放置时，水面的高为9.如图，若平面AA1B1B水平放置时，水面与棱AC交于点D，确定点D在棱AC上的位置，并说明理由． 返回导航 解：设直三棱柱形容器中所盛水的体积为V水，三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V棱柱． 返回导航 返回导航 角度2　锥体的体积 [例2] 已知Rt△ABC按照斜二测画法画出的直观图A′B′C′如图所示，其中B′C′＝4，A′B′＝2. (1)画出Rt△ABC的原图形并求其面积； 返回导航 返回导航 (2)若以Rt△ABC的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积． 返回导航 (2)正棱锥、圆锥体积的求法 ①正棱锥、圆锥体积用公式求出，即先求出底面积和高，再求体积． ②正棱锥计算要注意运用直角三角形． ③圆锥体积的计算要充分运用轴截面，找出底面半径、母线和高的关系． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)在正四棱锥P-ABCD中，AB＝1，PA＝2，则该四棱锥的体积是________． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 二　不规则或组合体的体积 [例4] 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积． 返回导航 返回导航 母题探究　本例中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1-EBFD1的体积． 返回导航 返回导航 求几何体体积的常用方法 返回导航 [跟踪训练4] (1)(2024·天津卷)在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间的距离均为1.若AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 36 1．(教材P256练习T1改编)已知一个圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，体积为56π，则该圆台的高为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 返回导航 2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) √ A．5π B．6π C．20π D．10π 返回导航 解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 返回导航 3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________． 返回导航 返回导航 1．已学习：柱体、锥体、台体的体积公式，等体积法、割补法求几何体的体积． 2．须贯通：等体积法、割补法求几何体体积，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高． 3．应注意：(1)注意区分棱锥、棱台的高与斜高； (2)由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误． 返回导航 解析：用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，L；E，M；F，N重合，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离均为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，V五面体ABC-DEF＝V三棱柱ABC-HIJ＝××1×1××4＝. $