第5章 § 1 1.2 复数的几何意义（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、复数与点/向量的对应关系、模及共轭复数等核心知识点。课堂导入从高斯建立复数几何基础切入，通过有序实数对与坐标点的对应关系，搭建从代数到几何的学习支架，帮助学生理解复数的“存在性”。 其亮点在于采用“思考-知识梳理-例题-跟踪训练”递进式结构，结合数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）设计内容。如例1通过复数对应点在象限的条件求参数，培养学生用几何直观分析问题；例4利用模的几何意义判断图形，发展推理能力。小结系统梳理知识，助力学生构建网络，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

1．2　复数的几何意义 1 新课导入 学习目标  德国数学家高斯把复数与 平面内的点一一对应起来，依 赖平面内的点或有向线段(向量) 建立了复数的几何基础．复数的几何意义从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　复平面及复数的几何意义 思考1　有序实数对和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示：能．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对(a，b)是一一对应的，所以复数可以和坐标平面上的点一一对应． 思考2　能用平面向量表示复数吗？ 提示：能．在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数． 返回导航 [知识梳理] 1．复平面：复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内的一个点________来表示，如图： 2．复数的几何意义 (a，b) 返回导航 角度1　复数与复平面内的点 [例1] 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点满足下列条件，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； 【解】　由题意，复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部m2－2m－8＝0，解得m＝－2或m＝4. (2)在第二或第四象限． 【解】　由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，所以2<m<4或－5<m<－2. 返回导航 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：利用复数的几何表示法，将复数z＝a＋bi(a，b∈R)用复平面内的点Z(a，b)来表示． (2)列出方程：利用复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)求解． 返回导航 [跟踪训练1] (1)复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i(i为虚数单位)，则z2＝ (　　) A．1＋2i B．－1－2i C．－1＋2i D．2＋i 解析：由题意可得，z1在复平面内对应的点为(1，－2)，该点关于虚轴对称的点为(－1，－2)，所以z2在复平面内对应的点为(－1，－2)，所以z2＝－1－2i.故选B. √ 返回导航 5 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ (2)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________． 返回导航 返回导航 (2)|z|＝2. 返回导航 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． 返回导航 [跟踪训练4] (1)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是 (　　) A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆 解析：由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1， 因为|z|≥0，所以|z|＝3， 所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆． √ 返回导航 13π 返回导航 三　共轭复数 思考　复数z1＝3＋4i与复数z2＝3－4i的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ 提示：相等，关于实轴对称． 返回导航 点拨　任意一个实数的共轭复数仍是它本身． a－bi 返回导航 √ (2)已知a，b∈R，若a＋4i与3－bi互为共轭复数，则|a＋bi|＝________． 5 返回导航 共轭复数的考查常与复数的运算，复数的几何意义相结合．通常解法是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，根据题目条件列出关于a，b的方程组(不等式组)，化简求解即可，常见的有如下两种题型： (1)求共轭复数：具体方法是先把复数写成代数形式，再利用定义写出已知复数的共轭复数； (2)求对应点：明确表示两个共轭复数的点的对称关系． 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 34 √ 1．(教材P180T6改编)已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 (　　) A．(－1，2) B．(－2，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：因为z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，所以m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是(－2，1). 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 3．若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，满足|z|＝3，则a的值为________． 返回导航 －6－8i 返回导航 1．已学习：复数与复平面内的点、平面向量之间的对应关系、复数的模及几何意义、共轭复数． 2．须贯通：灵活应用复数的模及几何意义解决有关问题． 3．应注意：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小． 返回导航 $