第5章 § 1 1.1 复数的概念（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的概念、分类及复数相等条件，通过卡尔丹解方程的历史问题导入，结合数系扩充脉络（从自然数到实数），搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以问题驱动和历史情境激发数学眼光，通过例题分类讨论（如判断复数为虚数、纯虚数的条件）培养数学思维，将复数问题转化为实数方程组（如复数相等的应用）体现数学语言。小结强调转化思想，帮助学生发展抽象能力和推理意识，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

第五章　复　数 1 § 1　复数的概念及其几何意义 1．1　复数的概念 2 新课导入 学习目标 1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性． 2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类． 3．理解复数的代数表示法． 4．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　复数的概念及分类 数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解． 思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示：能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i. 返回导航 [知识梳理] 1．虚数单位 为了使像x2＝－1这样一个简单的方程有解，我们引进一个新数i，叫作________，并规定： (1)它的平方等于－1，即i2＝－1； (2)实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 2．复数的概念及表示 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作________，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的________，记作Re z，b称为复数z的________，记作Im z． 虚数单位 复数 实部 虚部 返回导航 4．复数集 全体复数构成的集合称为复数集，记作C.显然R________C.  返回导航 角度1　复数的概念 [例1] (多选)下列命题中，不正确的是 (　　) A．1－ai(a∈R)是一个复数 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 D．－1没有平方根 √ √ √ 【解析】　由复数的概念可知命题A正确； 形如a＋bi(b∈R)的数，当b＝0时，它不一定是虚数，故命题B不正确； 当a＝b＝0时，a＋bi＝0为实数，故命题C不正确； －1的平方根为±i，故命题D不正确．故选BCD. 返回导航 判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊后一般，先否定后肯定”的方法进行解答. (2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部． 注意　解答复数概念题时，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质． 返回导航 [跟踪训练1] (1)复数1－i的虚部是 (　　) A．－1 B．－i C．i D．1 解析：复数1－i的虚部是－1.故选A. (2)一个实部和虚部互为相反数的虚数是_______________．(写出一个即可) 解析：由于实部和虚部互为相反数，故满足题意的一个虚数为1－i. √ 1－i(答案不唯一) 返回导航 返回导航 母题探究　若本例条件不变，当m为何值时z＞0? 返回导航 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 二　两个复数相等 思考　若z＝a＋bi与z＝1＋2i是同一个复数，那么a，b的值能确定吗？ 提示：能，a＝1，b＝2. [知识梳理] 两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当____________． a＝c且b＝d 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 解决复数相等问题的方法 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝________，y＝________． －1 1 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 24 √ 1．(2025·北海月考)设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝ (　　) A．5 B．－5 C．3 D．－3 解析：因为复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，所以3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5. 返回导航 √ 返回导航 3．若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy的值是________． 1 返回导航 (－∞，－2)∪(－2，0)∪(1，＋∞) 返回导航 1．已学习：复数的概念与分类、复数相等的充要条件． 2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想． 3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0. 返回导航 　　意大利数学家卡尔丹曾提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌．负数真的不能开平方吗？让我们带着这个问题进入今天的探究之旅吧！ $