第2章 §6 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量在几何与物理中的应用，涵盖几何中的平行、垂直、长度及夹角问题，物理中的力、速度、功等内容。新课导入通过向量“数”“形”结合的特性，衔接向量基本运算与实际应用，搭建知识迁移的学习支架。 其亮点在于采用基法与坐标法双路径解决几何问题，如例1用两种方法证明平行和共线，结合跟踪训练强化推理能力；物理应用通过建立向量模型转化问题，体现数学思维与数学语言。课堂小结强调转化思想，助力学生形成解决问题的逻辑，教师可借此提升教学效率，培养学生的应用意识与创新意识。

6.2　平面向量在几何、 物理中的应用举例 1 新课导入 学习目标 　　向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具． 1.能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中的有关力、速度、功等问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　用向量方法解决平面几何问题 角度1　利用向量证明平面几何问题 [例1] (对接教材例16)已知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； 返回导航 返回导航 (2)D，M，B三点共线． 返回导航 用向量证明平面几何问题的基本思路及步骤 (1)基法 ①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 角度2　利用向量解决平面几何中的线段长度及夹角问题 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是________． 返回导航 返回导航 二　向量在物理中的应用 [知识梳理] 1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，因此，可以用向量的知识来解决许多物理问题． 2．物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角). 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)(对接教材例20)一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 【解】　以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向， 正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图 所示． 返回导航 返回导航 用向量方法解决物理问题的四个步骤 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 √ (2)一质点在力F1＝(－3，5)，F2＝(2，－3)的共同作用下，由点A(10，－5)移动到B(－4，0)，则F1，F2的合力F对该质点所做的功为(　　) A．24 J B．－24 J C．110 J D．－110 J 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 31 √ 返回导航 返回导航 2．(多选)如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动 时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中(　　) A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断减小 C．船受到的浮力不断减小 D．船受到的浮力保持不变 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 4．(教材P127T2改编)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 返回导航 返回导航 1．已学习：平面向量在平面几何、物理中的应用． 2．须贯通：用向量解决平面几何、物理问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：忘记把向量运算的结果转化为平面几何、物理问题． 返回导航 方法二：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接MB，MD.令||＝1，则||＝1，||＝2.因为CE⊥AB，且AD＝DC，所以四边形AECD为正方形．所以可求得各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1). 因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以＝，所以∥且DE，BC无公共点，所以DE∥BC. (2)已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为________． 【解】　如图，设＝v0，＝v1，＝v2，则由题意知v2＝v0＋v1，||＝1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．由题意知∠AOC＝∠OCB＝，且|v2|＝||＝，||＝1，则在Rt△OBC中，|v1|＝||＝＝2， tan ∠BOC＝＝.又∠BOC∈，所以∠BOC＝，则β＝＋＝. $