第2章 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 1 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题（数学建模）. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角 越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力. 【问题】　你能从数学的角度解释上述现象吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　平面向量的应用 1. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将 转化为向量问题； （2）通过 ，研究几何元素之间的关系； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 平面几何问题　 向量运算　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等； （2）向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中； （3）动量mv是向量的数乘运算； （4）功是力F与所产生的位移s的数量积. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD？ 提示：证明或计算 · ＝0，从而得出AB⊥CD. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若△ABC是直角三角形，则有 · ＝0. （　×　） （2）若 ∥ ，则直线AB与CD平行. （　×　） （3）功W＝｜F｜｜s｜ cos ＜F，s＞是一个实数，它可正、可负，也 可为零. （　√　） （4）物体在斜面上的受力分析可用向量的加、减法运算. （　√　） × × √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若 ＝3a， ＝－5a，且｜ ｜＝｜ ｜，则四边形ABCD是 （　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形 解析：　∵ ＝3a， ＝－5a，∴ ∥ ，｜ ｜≠｜ ｜， ∵｜ ｜＝｜ ｜，∴四边形ABCD是等腰梯形.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2（｜v1｜＞｜ v2｜），则逆风行驶的速度的大小为（　　） A. v1－v2 B. v1＋v2 C. ｜v1｜－｜v2｜ D. 解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数.故逆风行驶的速度的大小为｜v1｜－｜v2｜. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜利用向量证明平面几何问题 【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点， 求证：AF⊥DE. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：法一　设 ＝a， ＝b， 则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0. 又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ， 所以 · ＝ · ＝－ － a·b＋ ＝－ ｜a｜2＋ ｜b｜2＝0. 故 ⊥ ，即AF⊥DE. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长 为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2， 1），则 ＝（2，1）， ＝（1，－2）. 因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以 ⊥ ，即 AF⊥DE. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 （1）利用线性运算证明的四个步骤：①选取基；②用基表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化； （2）利用坐标运算证明的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；② 把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向 量化. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端 点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法 证明：PA＝EF. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1， DP＝λ（0＜λ＜ ）， 则A（0，1），P（ λ， λ）， E（1， λ），F（ λ，0）， 所以 ＝（－ λ，1－ λ）， ＝（ λ－1，－ λ）. 所以｜ ｜＝ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ＝ ， ｜ ｜＝ ＝ ， 所以｜ ｜＝｜ ｜，所以PA＝EF. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜利用向量解决平面几何求值问题 【例2】　如图，已知｜p｜＝2 ，｜q｜＝3，p，q的夹角为 ，若 ＝5p＋2q， ＝p－3q，D为BC的中点，则｜ ｜＝ ⁠. ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题意知2 ＝ ＋ ， 因为 ＝5p＋2q， ＝p－3q， 所以2 ＝ ＋ ＝6p－q， 所以2｜ ｜＝｜6p－q｜ ＝ ＝15， 所以｜ ｜＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 用向量法求长度的策略 （1）根据图形特点选择基，利用向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2 求解； （2）建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝（x，y）， 则｜a｜＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 用向量法解决平面几何问题的两种思想 （1）几何法：选取适当的基（基中的向量尽量已知模或夹角），将题中 涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中 的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角的余弦值. 解：如图，分别以等腰直角三角形OAB的两直角边OA， OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.C，D分 别为OB，OA的中点，设A（2a，0），B（0，2a），则 D（a，0），C（0，a）， ∴ ＝（－2a，a）， ＝（a，－2a）. 设向量 与 的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ＝ ＝－ . 故所求的钝角的余弦值为－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜平面向量在物理中的应用 角度1　利用向量解决速度、位移问题 【例3】　在风速为75（ － ）km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速 度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向. 解：设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞 机的飞行速度为vb，则va＝vb＋v0，且va，vb，v0可构成 三角形（如图所示）， ∵｜ ｜＝｜va｜＝150，｜ ｜＝｜v0｜＝75（ － ），｜ ｜＝｜vb｜， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E， 则∠BAD＝45°，∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝75 ， ∴｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜ ＝75（ － ）＋75 ＝75 ， 从而tan ∠CAD＝ ＝ ＝ ， ∴∠CAD＝30°， ｜ ｜＝150 ， ｜vb｜＝150 ， ∴没有风时飞机的飞行速度为150 km/h，航向为北偏西60°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　利用向量解决力与做功问题 【例4】　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东 45°的方向移动了8 m.其中｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°；｜F2｜＝4 N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做 的功. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：如图所示，以O为原点，正东方向为x轴的正方 向、正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则F1＝（1， ），F2＝（2 ，2），F3＝（－ 3，3 ），所以F＝F1＋F2＋F3＝（2 －2，2＋ 4 ）. 因为位移s＝（4 ，4 ）， 所以合力F所做的功W＝F·s＝（2 －2，2＋ 4 ）·（4 ，4 ）＝24 （J）. 故合力F所做的功为24 J. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题 时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平 行四边形法则转化为代数方程来计算. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 两人提起一个旅行包，旅行包所受的重力为G，两人用力大小都为｜F｜，夹角为θ，若｜F｜＝｜G｜，则θ的值为（　　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 解析：设 ＝F1， ＝F2， ＝－G，由向量加法法则可得 ＝ ＋ ， 当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 30 1. 如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程 为s，位移为a，那么（　　 ） A. s＞｜a｜ B. s＜｜a｜ C. s＝｜a｜ D. s与｜a｜不能比大小 解析：　s＝200＋300＝500（km），｜a｜＝ ＝100 （km），∴s＞｜a｜.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在△ABC中，若 · ＝－5，则△ABC的形状一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 解析：　因为 · ＝－5＜0，所以A为钝角，所以△ABC一定是钝角 三角形.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则 两个力的合力的大小为（　　） A. 5 N B. 5 N C. 5 N D. 5 N 解析：两个力的合力的大小为｜F1＋F2｜＝ ＝5 （N）. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向 量，且满足a与b不共线，a⊥c，｜a｜＝｜c｜，则｜b·c｜的值一定等 于（　　） A. 以a，b为邻边的平行四边形的面积 B. 以b，c为邻边的平行四边形的面积 C. 以a，b为两边的三角形面积的2倍 D. 以b，c为两边的三角形面积 解析：设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则｜b·c｜＝｜b｜·｜c｜·｜ cos α｜＝｜b｜·｜a｜·｜ cos （90°±θ）｜＝｜b｜·｜a｜· sin θ.故选A、C. √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 在四边形ABCD中，已知 ＝（4，－2）， ＝（7，4）， ＝ （3，6），则四边形ABCD的面积是 ⁠. 解析：因为 ＝ － ＝（3，6）＝ ，又因为 · ＝（4，－ 2）·（3，6）＝0，所以四边形ABCD为矩形，所以｜ ｜＝ ＝2 ，｜ ｜＝ ＝3 ，所以S＝｜ ｜·｜ ｜＝2 ×3 ＝30. 30 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知力F的大小｜F｜＝10，在F的作用下产生的位移s的大小｜s｜＝ 14，F与s的夹角为60°，则F做的功为（　　） A. 7 B. 10 C. 14 D. 70 解析：F做的功为F·s＝｜F｜｜s｜ cos 60°＝10×14× ＝70. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 点O是△ABC所在平面内的一点，满足 · ＝ · ＝ · ， 则点O是△ABC的（　　） A. 三个内角的角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高所在直线的交点 解析：∵ · ＝ · ，∴（ － ）· ＝0，∴ · ＝0，∴OB⊥AC. 同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直线的交点. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 在四边形ABCD中，若 ＝（1，2）， ＝（－4，2），则该四边形 的面积为（　　） A. B. 2 C. 5 D. 10 解析：　∵ · ＝0，∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD的面积S＝ ｜ ｜｜ ｜＝ × ×2 ＝5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知P是边长为4的正六边形ABCDEF内的一点，则 · 的取值范围 是（　　） A. [－8，24] B. [－8，8] C. [－4，24] D. [－8，16] 解析：　连接AE，则正六边形中AB⊥AE，如图，以 A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立 直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），设P（m， n），则m∈[－2，6]， · ＝（m，n）·（4，0） ＝4m∈[－8，24]. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕在△ABC中， ＝（2，3）， ＝（1，k）.若△ABC是直 角三角形，则k的值可以是（　　） A. －1 B. C. D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：若A为直角，则AB⊥AC，则 · ＝0，∴2＋3k＝0，解得k＝－ .若B为直角，则BC⊥AB，则 · ＝0，∵ ＝（2，3）， ＝（1，k），∴ ＝（－1，k－3），∴－2＋3k－9＝0，解得k＝ .若C为直角，则BC⊥AC，则 · ＝0，∴－1＋k（k－3）＝0，解得k＝ .综上可得，k的值可能为－ ， ， ， .故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕点P是△ABC所在平面内一点，满足｜ － ｜－｜ ＋ －2 ｜＝0，则△ABC的形状可能是（　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为P是△ABC所在平面内一点，且｜ － ｜－｜ ＋ －2 ｜＝0，所以｜ ｜－｜（ － ）＋（ － ）｜＝0，即｜ ｜＝｜ ＋ ｜，所以｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，两边平方并化简得 · ＝0，所以 ⊥ ，所以A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知点A（1，1），M（x，y），且A与M不重合，若向量 与向 量a＝（1，2）垂直，则点M的坐标x，y之间的关系为 ⁠ ⁠. 解析： ·a＝（x－1，y－1）·（1，2）＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝ 0.又A与M不重合，所以x≠1. x＋2y－3＝0 （x≠1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千 米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为 千米/时. 解析：用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度，则v0＋v1表 示船实际航行速度.∵｜v0｜＝4，｜v1｜＝8，∴｜v0＋v1｜＝ ＝ 4 . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中 点，则（ ＋ ）· ＝ ⁠. 解析：如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以 AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0）， B（2，0），D（0，1），∴C（2，1）.∵E，F分别为 BC，CD的中点，∴E ，F（1，1），∴ ＋ ＝ ， ＝（－2，1），∴（ ＋ ）· ＝3×（－2）＋ ×1＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质 量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了 20 m.力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（取重力加速度大小为10 m/s2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：如图所示，设木块的位移为s，则F·s＝｜F｜｜ s｜· cos 30°＝50×20× ＝500 （J）. 将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2， 则｜f1｜＝｜F｜ sin 30°＝50× ＝25（N）. 所以｜f｜＝μ（｜G｜－｜f1｜）＝0.02×（8×10－25）＝1.1（N）. 因此f·s＝｜f｜｜s｜ cos 180°＝1.1×20×（－1）＝－22（J）. 故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和－22 J. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 在△ABC中，设 － ＝2 · ，那么动点M的轨迹必通过 △ABC的（　　） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 解析：　假设BC的中点是O，则 － ＝（ ＋ ）·（ － ）＝2 · ＝2 · ，即（ － ）· ＝ · ＝0，所以 ⊥ ，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过 △ABC的外心.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉 力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　） A. 当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N B. 当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0 C. 当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N D. 当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：易知F1与G的夹角为90°.对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝ ＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为 ＝2 （N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，F2的方向竖直向上，且｜F2｜＝4 N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状 态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜 面向上的弹力F2.已知｜F1｜＝80 N，则G的大小为 ，F2的大小 为 .⁠ 160 N 80 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：如图，由向量分解的平行四边形法则， ＝ sin30°， ＝ cos 30°，计算可得｜G｜＝160 N，｜F2｜＝80 N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，｜ ｜＝2｜ ｜＝2，∠OAB＝ ， ＝（－1， ）. （1）求点B，点C的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：在平面直角坐标系xOy中，设B（xB，yB），因 为 ｜＝2｜ ｜＝2，所以A（2，0）. 又∠OAB＝ ，所以xB＝2＋ cos ＝ ， yB＝0＋ sin ＝ ， 所以点B . 又 ＝（－1， ）， 所以 ＝ ＋ ＝ ＝ ， 所以点C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求四边形OABC的面积. 解：由（1）可得， ＝ ， ＝ ， 所以 ＝3 ， ∥ . 又｜ ｜＝ ＝2＝｜ ｜， 所以四边形OABC为等腰梯形.如图，延长CB交x轴于点 D，则DC＝DO，BD＝AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 又∠BAD＝π－ ＝ ， 则△OCD，△ABD均为等边三角形. 所以四边形OABC的面积 S＝S△OCD－S△ABD＝ ×32－ ×12＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕已知点P为△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　） A. 若 ＋3 ＋2 ＝0，则点P在△ABC的中位线上 B. 若 ＋ ＋ ＝0，则点P为△ABC的重心 C. 若 · ＞0，则△ABC为锐角三角形 D. 若 ＝ ＋ ，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：对于A，设AB的中点为点D，BC的中点为点E，∵ ＋3 ＋2 ＝0，∴ ＋ ＝－2（ ＋ ），∴2 ＝－4 ，即 ＝2 ，∴P，D，E三点共线，又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A中说法正确；对于B，设AB的中点为点D，由 ＋ ＋ ＝0得 ＋ ＝－ ＝ ，又 ＋ ＝2 ，∴ ＝2 ，∴点P在中线CD上，且 ＝2，∴点P为△ABC的重心，B中说法正确；对于C，∵ · ＞0，∴ 与 的夹角为锐角，即角A为锐角，但此时角B，C有可能是直角或钝角，故不一定能得出△ABC为锐角三角形，C中说法错误；对于D，∵ ＝ ＋ ，∴点P为线段BC上靠近点C的三等分点，则 ＝ ，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D中说法正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（ cos θ＝ ，θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（注： cos （θ－45°）＝ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭， ∠OPQ＝θ－45°. ∵ ＝ ＋ ， ∴ ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2 · . ∴ ＝ ＋ －2｜ ｜｜ ｜· cos （θ－45°）＝3002＋ （20t）2－2×300×20t× ＝100（4t2－96t＋900）. 依题意得 ≤（60＋10t）2，解得12≤t≤24. 从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $