第2章 §6 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦正、余弦定理的综合应用，涵盖多边形计算、平面几何证明及面积问题等核心内容。课堂导入通过回顾前两节课单一定理应用，自然过渡到综合问题，搭建从独立使用到交叉渗透的学习支架，衔接边角互化、面积公式等知识脉络。 其亮点在于以实例驱动教学，如将四边形拆分为三角形求解、结合均值不等式证明三角形不等关系，培养学生数学思维中的推理与运算能力。融入秦九韶“三斜求积”公式等数学文化，通过例题、跟踪训练及巩固自测的递进设计，小结强调转化与化归思想。助力学生提升综合应用能力与创新意识，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第3课时　用余弦定理、 正弦定理解三角形 1 新课导入 学习目标 　　我们前两节课学习了余弦定理和正弦定理，利用两个定理可以解决三角形的边角问题，其实，在很多问题中，两个定理相互渗透，相互联系，并不是单独使用，这节课，我们就来研究二者的综合问题． 1.能灵活选择恰当的三角形的面积公式解决有关面积的问题． 2．能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　多边形中的计算问题 [例1] (对接教材例7)在四边形ABCD中，A＝45°， ∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2.求： (1)∠CBD的大小； 返回导航 (2)AB的值． 返回导航 求解有关多边形的计算问题的思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 返回导航 [跟踪训练1] (2025·南阳月考)如图，△ADC是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2. (1)求∠ABE； 返回导航 返回导航 二　平面几何中的证明问题 [例2] 在△ABC中，2B＝A＋C，b＝1，求证：1<a＋c≤2. 返回导航 三角形中不等关系的证明有两种策略 (1)利用正弦定理将边转化为角的正弦，利用三角函数值域的有界性即可得出． (2)应用余弦定理，借助于基本不等式和三角形三边关系，便可得到． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 利用正弦定理、余弦定理求解综合问题 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系． (2)抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 返回导航 [跟踪训练3] 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(cos A，cos B)，n＝(b－2c，a)，且m⊥n. (1)求角A； 返回导航 返回导航 返回导航 秦九韶的“三斜求积”，就是指秦九韶公式，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，它给出了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系时，就可考虑从这个角度入手解题．近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出现． 拓视野 秦九韶的“三斜求积” 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 26 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：多边形中的计算问题、平面几何中的证明问题、正、余弦定理的综合应用． 2．须贯通：结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角形实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形． 返回导航 解：由已知得AC＝AD＝CD＝BC＝，∠DAC＝∠ADC＝∠ACD＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°， 所以△BCD是等腰三角形，∠BCD＝60°＋90°＝150°，所以∠DBC＝(180°－150°)＝15°， 所以∠ABE＝45°－15°＝30°. 证明：由题可得＝，由正弦定理得＝，即b2＝ac.由于c＝λa(λ∈ R＋)，且由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝ac，将c＝λa代入，则有(λ2＋1)a2－2λa2cos B＝λa2，化简可得(λ2＋1)－2λcos B＝λ，即cos B＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即λ＝1时，取等号．因为B∈(0，π)，y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以B≤. 4 $