2.6.1余弦定理与正弦定理第5课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第 5 课时教学设计 （一）课时教学内容：用余弦定理、正弦定理解三角形 （二）课时教学目标 1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定 理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题； 2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学 运算、数学建模等数学素养。 （三）课时重点难点 教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角 形，得到实际问题的解； 教学难点：由实际问题建立数学模型，画出示意图。 （四）教学过程流程 （五）教学过程 环节一：情境引入，提出问题 如图所示，这是淮北相山公园的电视塔，请设计出能够测量该塔高高度的方法。 教师提出问题，让学生进行思考、讨论、交流。 教师予以分析：若测量者电视塔塔顶在A, B两点处的仰角，并测量处AB的长度这样就可以借助于正弦定理和余弦定理算出电视塔的高度。 仰角和俯角：如下图所示，与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。 设计意图：新知内容的介绍为本节内容的推动和延续奠定了基础，也揭示了数学来源于生活，正是因为生活中的需要，才使得概念的产生。 环节二：典例分析，深化理解 例1 自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°(指车厢AC与水平线之间的夹角)，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20¢，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 解 如图所示，在DABC中，AB=1. 95m, AC=1. 40m, ÐBAC =600 +6020' =66020'. 由余弦定理，得 BC2 =AB2 +AC2 - 2 ×AB ×AC ×cos A =1.952 +1.402 - 2 ´1.95´1.40 ´ cos 66020' » 3.571, 所以BC »1.89(m).因此，顶杆BC长约为1.89m. 设计意图：让学生理解专业术语，是画出示意图的前提；根据问题中的文字语言，独立画出图形，培养学生文字语言，图形语言和符号语言相互转译的能力，发展学生数学抽象、数学建模等核心素养. 例2 如下图所示，C, D两点相距12m, 与烟囱底部A在同一水平直线上，利用高为1. 5m的测角仪器，测得烟囱在点C, D的仰角分别是a =450，b=600.计算烟囱 1 1 的高AB（精确到0. 01m）. 解 如图所示，在DBCD中，ÐBD C =1800 - 600 =1200 , ÐC BD =600 - 450 1 1 1 1 1 1 =150 , C1D1 =12,由正弦定理，得 C1D1 = BC1 , sin ÐC1BD1 sin ÐBD1C1 C1D1 ×sin ÐBD1C1 12 ×sin1200 BC = = » 40.153(m) sin ÐC1BD1 sin150 1 从而 A1B =22 BC1 » 28.392(m). AB =A1B +AA1 » 28.392 +1.5 » 29.89(m) 因此，烟囱的高约为29.89m. 设计意图： 让学生阅读问题，明确问题的实际背景，掌握测量专业术语；关于测量底部不能到达的建筑物高度的问题，会用到仰角或俯角的概念，同时培养学生类比的思想；“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题；“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路，培养学生计算能力. （六）目标检测设计： 练习：如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的ÐBCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度． 解 设电视台AB的高为x，则在RtDABC中，由ÐACB=450，得BC =x. 在RtDADB中，ÐADB=300, 所以BD = 3x.在DBDC中，由余弦定理，得 BD=BC22+CD2- 2BD×CD×cos1200,即（3x）2 =x2 +402 - 2 ×x ×40 ×cos1200 , 解之得x =40 答：电视塔的高为40m. 设计意图：让学生加深对专业术语的理解和认识，该目标检测的设计是对本节相关内容的回应，并检测学生是否能够对相关问