第2章 §6 6.1 第2课时 正弦定理（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦正弦定理，通过“测量河对岸两点距离”的实际问题导入，从直角三角形边角关系延伸至斜三角形，构建“特殊到一般”的知识支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合“数学思维”的推理（如斜三角形正弦定理证明）和“数学眼光”的现实应用（如距离测量），题型分类清晰（解的个数判断、形状判断），总结方法明确，助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学资源。

第2课时　正弦定理 1 新课导入 学习目标 　　在现代生活中，得益于科技 的发展，距离的测量能借助红外 测距仪、激光测距仪等工具直接 完成．不过，在这些工具没有出 现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长、∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？  1.通过对任意三角形边长和角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法． 2．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题． 3．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 返回导航 返回导航 [知识梳理] 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等，即_________＝_________＝_________． 正弦 返回导航 (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C(边角互化). 返回导航 角度1　已知两角及一边解三角形 [例1] 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． 返回导航 已知两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理或余弦定理求出第三条边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 返回导航 返回导航 (2)在△ABC中，B＝30°，C＝45°，c＝1，则b＝________；△ABC外接圆的半径R＝________． 返回导航 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 返回导航 母题探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 返回导航 已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤 返回导航 √ 返回导航 返回导航 二　三角形解的个数的判断 [例3] 不解三角形，判断下列三角形解的个数： (1)a＝5，b＝4，A＝120°； 方法二：因为A＝120°为钝角，a＝5，b＝4， 所以a>b，结合图形可知三角形有一解． 返回导航 (2)a＝9，b＝10，A＝60°； 返回导航 返回导航 (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 方法二：b＝72，c＝50，C＝135°， 因为C为钝角，c<b，所以三角形无解． 返回导航 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数， 返回导航 解的个数见下表： 类别 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>b sin A 两解 a＝b sin A 一解 a<b sin A 无解 返回导航 [跟踪训练3] (多选)(2025·宿州月考)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ 返回导航 解析：对于A，因为b sin A＝16×sin 30°＝8＝a，故只有一解，A正确； 对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，a>c，故有一解，C错误； 对于D，因为A为钝角，又b<a，所以有一解，D正确． 返回导航 三　判断三角形的形状 [例4] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状． 返回导航 判断三角形形状的两种途径   注意　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 返回导航 √ [跟踪训练4] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，则△ABC是(　　) A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：根据正弦定理可知sinB sin C＝sin2A⇔bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc⇔(b－c)2＝0，所以b＝c，又因为bc＝a2，所以a＝b＝c，即△ABC是等边三角形．故选C． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 31 √ 返回导航 √ √ 返回导航 1 返回导航 返回导航 1．已学习：正弦定理及公式变形、利用正弦定理解三角形、利用正弦定理判断三角形解的情况及判断三角形的形状． 2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 返回导航 方法二：因为a＝9，b＝10，A＝60°， 所以b sin A＝10×sin 60°＝5<9＝a， 可知b sin A<a<b， 故三角形有两解． $