专题2-2平面向量及其应用中解三角形（期末复习讲义）高一数学下学期北师大版

专题2-2平面向量及其应用中解三角形（二）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 正弦定理的应用 题型二 余弦定理的应用 题型三 三角形形状的判断 题型四 判断三角形解的个数 题型五 三角形的面积 题型六 三角形的实际应用 题型七 三角形的中线，等分点线 题型八 三角形的角平分线，张角定理 题型九 解多个三角形和四边形 题型十 对边对角的范围 题型十一 邻边邻角的范围 题型十二 利用三角函数求解最值 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理 能准确判断正余弦公式的使用 基础必考点，常出现在小题，考查基础的公式计算和应用. 面积公式 能够准确判断面积公式的使用 基础必考点，常出现在小题和解答题中，考查基础的正余弦定理，面积公式的使用. 判断三角形形状 利用正余弦函数进行三角形形状的判断 基础必考点，常出现在小题中，考查正余弦定理的化简，判断边和角的关系. 三角形实际应用 利用解三角形公式，进行实际距离，角度的测量 基础必考点，常出现在小题中，考查公式的使用，并在实际问题中的表示关系. 中线，等分点 利用向量进行中线，等分点线的表示和计算，结合正余弦公式的使用 基础必考点，常出现在小题或解答题中，考查中线等的向量表示关系，及用向量法求解对应的长度. 角平分线 利用正弦定理进行边长的表示和等面积法表示边之间的关系 基础必考点，常出现在小题和解答题中，考查正弦定理的使用，及边之间关系的转化. 对边对角的范围转三角函数和基本不等式问题 利用三角函数或基本不等式，进行边长和面积的表示，及圆内三角形的图形变化关系. 高频易错点，常出现在解答题中，考查学生边与角之间互化的关系，及利用三角函数的图像和性质求解范围. 邻边邻角转三角函数问题 利用正弦定理或余弦定理进行边长和面积的表示，求解范围 高频易错点，常出现在解答题中，考查学生对边和角之间的理解，及利用数形结合思想求解取值范围. 知识点01 正弦定理，射影定理，三角形内角和关系 1、正弦定理：（为三角形外接圆直径）； 变形可得边角互化公式：. 2、射影定理：. 3、三角形内角和定理： （1）内角和定理：；（2）和差角变形： ； ； ； . ·易错点：射影定理太会使用，三角形内角和关系式的转化上存在不足. 知识点02 余弦定理，边角互化，面积公式 1、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式：；；. 变形：；；. 2、边角互化：一般情况只有两种情况使用角化边，其他一切均可使用边化角： ①全部角度都是型；②涉及到的角度带有平方. 3、面积公式：. ·易错点：余弦公式的错误使用，边角互化上存在转化上的不足. 知识点03 中线和角平分线的求解 1、中线问题（等分点问题） 中点或等分点，用向量进行表示，平方表示对应的长度： ①在中，若为边上的中点，则； ②在中，若为边上一点，且满足，则. 2、角平分线问题 在中，若为边上一点，且平分,则： ①角平分线定理：（用正弦定理推导）； ②等面积法：，即. ·易错点：等分点线的向量表示方式出现错误，角平分线边关系的推导存在不足. 知识点04 对边对角，邻边邻角范围的表示 1、对边对角：可以画定弦长对应的圆周角上一点的变动，直观感受三角形的变化，单边求解一般用正弦定理转化为角的计算，乘积或者平方一般使用余弦定理转化为基本不等式求解最值. 2、邻边邻角：可以画定线段和邻角的射线，利用锐角、钝角三角函数关系，直观感受三角形顶点的变化，一般用正弦定理进行边转化为角度的计算. ·易错点：求解范围时，用余弦定理结合基本不等式只能求解出其中一个最值. 题型一 正弦定理的应用 解｜题｜技｜巧 正弦定理多用于边角互化，已知两角一边、两边及其中一边对角时优先使用；可判断三角形解的个数，也能结合三角恒等变换求角、边长与面积。解题时常把边统一化为正弦，结合内角和定理化简计算。 易｜错｜点｜拨 忽略大边对大角，出现增根、漏解； 忘记三角形内角范围，误判角为锐角 / 钝角； 多解问题未分类讨论，直接得出单一答案。 【典例1】．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A． B． C． D．或 【变式1】．在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A． B．或 C．60° D．或 【变式2】．记的内角的对边分别为，，，，则（ ） A． B． C． D． 题型二 余弦定理的应用 解｜题｜技｜巧 余弦定理适用于已知三边、两边及其夹角，也可用来求角、判定三角形形状。解题常直接套公式计算边长，或变形求余弦值判断角度；结合边角关系统一化边或化角，搭配面积公式综合解题。 易｜错｜点｜拨 忽略角的范围，由余弦值正负判断钝角、锐角时出错；公式记错、代入数值计算失误；多三角形题型中混淆对应边与角，乱用定理导致结果偏差。 【典例1】．在中，内角的对边分别为.若，，且则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．则的值为（ ） A． B．2 C． D． 【变式3】．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型三 三角形形状的判断 解｜题｜技｜巧 主要利用正、余弦定理做边角互化：统一为边，通过因式分解、配方判断边长关系；统一为角，结合三角公式分析角的大小。也可根据余弦正负判定角为锐角、直角或钝角，进而确定三角形类型。 易｜错｜点｜拨 化简时随意约去含边 / 角的式子，遗漏零解情况；混淆锐角、钝角三角形判定条件；仅凭一个角下结论，忽略三角形整体角度范围，造成判断失误。 【典例1】．（多选）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 【变式1】．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【变式2】．（多选）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（ ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 题型四 判断三角形解的个数 解｜题｜技｜巧 已知两边及其中一边对角时，用正弦定理结合大边对大角判断解的个数。先求出对角正弦值，再对比边长、结合角的范围分析：分无解、一解、两解三种情况。也可结合图像、临界边长求参数取值范围，分类讨论临界状态。 易｜错｜点｜拨 忽略三角形内角范围；未判断正弦值是否大于 1 导致误判无解；两解情形漏讨论；求范围时漏掉边界取值，分类不全出现漏洞。 【典例1】．在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（ ） A．9 B． C．11 D．12 题型五 三角形的面积 解｜题｜技｜巧 常用面积公式，结合正、余弦定理边角互化。已知两边及夹角直接计算；缺条件时先求边、角或夹角正弦值，也可结合周长、最值问题联立求解。 易｜错｜点｜拨 混淆面积公式形式，错用角与对应边；计算时忽略两角可能性；求最值时忽视三角形三边、内角的限制条件，取值范围出错。 【典例1】．在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为______. 【典例2】．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C； （2）若，，求的周长. 【变式1】．（多选）已知中，内角所对的边分别为，则（ ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 【变式2】．在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________． 【变式3】．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知中，角，，所对的边分别为，，，若_________. (1)求角； (2)若，且的面积为，求边，的长. 题型六 三角形的实际应用 解｜题｜技｜巧 先根据题意画出示意图，标注已知边、角，将实际场景转化为三角形模型。分清仰角、俯角、方位角等概念，结合正、余弦定理分步求解，复杂问题可拆分多个三角形依次计算。 易｜错｜点｜拨 方位角、仰俯角理解偏差，画图出错；角度换算失误；忽略实际场景隐含的角度、边长限制；多三角形衔接时看错对应边角，导致计算错误。 【典例1】．如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（在同一水平面上）测得M点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离为________m． 【变式1】．中卫一中数韵社某同学为了测量学校天文台的高度，选择附近宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设和点在同一平面内，则该同学可算得学校天文台的高度为__________m． 【变式2】．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则_____． 题型七 三角形的中线，等分点线 解｜题｜技｜巧 遇中线、等分线段，优先用中线公式、向量分解，也可延长中线构造全等三角形。结合正、余弦定理在拆分出的小三角形中边角互化，等分点可按线段比例设边长，分步列式求解。 易｜错｜点｜拨 混淆中线、等分线对应的边角关系；构造辅助线后看错线段长度与角度；比例换算出错；跨三角形套用定理时，误用不对应的边和角。 【典例1】．在中，. (1)求的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 【典例2】．在中，的对边分别为，，，且满足_______________. 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题. (1)求； (2)若面积为，，点在线段上，且，求的长. 【变式1】．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，为的中点，求. 【变式2】．在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，. (1)求； (2)已知，是边的中点，且，求的长. 【变式3】．在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，，且_________. (1)求角的大小； (2)设是上一点，且，，求面积的最大值.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 题型八 三角形的角平分线，张角定理 解｜题｜技｜巧 遇到角平分线，可使用角平分线定理转化边长比例，也可拆分出两个小三角形，结合正、余弦定理列式。还能利用角相等得到三角函数关系，或作辅助线构造相似三角形辅助求解。 易｜错｜点｜拨 记错角平分线定理比例关系；拆分三角形后混淆对应边角；忽略两角相等的隐含条件；计算时误将角平分线当作中线使用，造成解题偏差。 【典例1】．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 【典例2】．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【变式1】．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 【变式2】．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 题型九 解多个三角形和四边形 解｜题｜技｜巧 将图形拆分为多个独立三角形，逐个标注边角。以公共边、公共角为衔接点，先用已知条件解基础三角形，再把结果代入相邻图形。灵活搭配正、余弦定理与面积公式，分步推导求解。 易｜错｜点｜拨 看错图形中公共边、公共角；不同三角形间边角对应混乱；拆分图形后遗漏隐藏角度关系；连续计算中累积运算错误，忽略图形几何约束。 【典例1】．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【典例2】．如图，在平面四边形中，, (1)求的值； (2)求的长. 【变式1】．如图，在中，，，点在边上，且，. （1）求； （2）求的长. 【变式2】．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 题型十 对边对角的范围 解｜题｜技｜巧 利用正弦定理实现边角互化，结合大边对大角、三角形内角和约束范围。借助三角函数单调性、最值分析角或边的取值，遇到最值问题可转化为函数求解，同时兼顾三边不等关系。 易｜错｜点｜拨 忽略内角的限制；误用边角大小关系；求值域时未考虑角度范围导致区间出错；联立条件时遗漏三边不等关系，范围判定不全。 【典例1】．（多选）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．△ABC的外接圆的面积2π C．△ABC的面积的最大值是 D．b＋c的取值范围是 【典例2】．已知的内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求的取值范围． 【变式1】．已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【变式2】．已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 【变式3】．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求cosC的最小值． 题型十一 邻边邻角的范围 解｜题｜技｜巧 结合内角和、两角互制关系限定邻角范围，利用余弦定理建立邻边关系式，搭配三边不等约束。可将边角转化为三角函数，借助单调性、有界性求范围，也可结合大边对大角辅助分析。 易｜错｜点｜拨 忽略两角和小于 π 的隐含条件；混淆邻边、对边对应关系；转化三角函数时未缩窄定义域；遗漏三边大小约束，最终范围偏大或偏小。 【典例1】．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【变式1】．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 【变式2】．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 题型十二 利用三角函数求解最值 解｜题｜技｜巧 借助正、余弦定理把边化为角，统一成单一三角函数形式。利用三角恒等变换化简解析式，结合三角形内角范围确定定义域，再根据三角函数单调性、最值规律求解。也可结合辅助角公式简化运算。 易｜错｜点｜拨 忽略内角取值区间，导致最值判断错误；恒等变换公式运用出错；化简后未结合三角形隐含条件缩范围；混淆三角函数单调区间，求得错误极值。 【典例1】．如图，在平面四边形中，，，，. (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【典例2】．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【变式1】．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且． (1)求角B的大小； (2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值． 【变式2】．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（ ） A． B． C．或 D．或 2．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 4．已知的内角的对边分别为，满足，且，则（ ） A． B． C． D． 5．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A．80 B．120 C． D． 6．在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 8．在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的有（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．的周长是 三、填空题 9．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 10．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 四、解答题 11．已知，其内角的对边分别为，且． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，，则（ ） A． B． C． D． 4．在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）． A． B． C．或 D．或 5．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 6．记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b．c．若，角A的平分线交于点D，，，则以下结论正确的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 8．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A．若则是等腰三角形 B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 C．，，BC边上的中线，则的面积为 D．若，则为钝角三角形 三、填空题 9．在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________． 10．已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c． ①若，，，则该三角形有两解 ②若，则一定为等腰三角形 ③若，，，G为的重心，P为线段BG上一点，则的最大值为20 ④若，则是等边三角形 以上结论中正确的是______(填相应序号)． 四、解答题 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A； (2)若D是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 3．在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A．3 B． C．2 D． 4．（多选）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 5．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，则的取值范围是______. 6．如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，求的长； (3)若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-2平面向量及其应用中解三角形（二）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 正弦定理的应用 题型二 余弦定理的应用 题型三 三角形形状的判断 题型四 判断三角形解的个数 题型五 三角形的面积 题型六 三角形的实际应用 题型七 三角形的中线，等分点线 题型八 三角形的角平分线，张角定理 题型九 解多个三角形和四边形 题型十 对边对角的范围 题型十一 邻边邻角的范围 题型十二 利用三角函数求解最值 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理 能准确判断正余弦公式的使用 基础必考点，常出现在小题，考查基础的公式计算和应用. 面积公式 能够准确判断面积公式的使用 基础必考点，常出现在小题和解答题中，考查基础的正余弦定理，面积公式的使用. 判断三角形形状 利用正余弦函数进行三角形形状的判断 基础必考点，常出现在小题中，考查正余弦定理的化简，判断边和角的关系. 三角形实际应用 利用解三角形公式，进行实际距离，角度的测量 基础必考点，常出现在小题中，考查公式的使用，并在实际问题中的表示关系. 中线，等分点 利用向量进行中线，等分点线的表示和计算，结合正余弦公式的使用 基础必考点，常出现在小题或解答题中，考查中线等的向量表示关系，及用向量法求解对应的长度. 角平分线 利用正弦定理进行边长的表示和等面积法表示边之间的关系 基础必考点，常出现在小题和解答题中，考查正弦定理的使用，及边之间关系的转化. 对边对角的范围转三角函数和基本不等式问题 利用三角函数或基本不等式，进行边长和面积的表示，及圆内三角形的图形变化关系. 高频易错点，常出现在解答题中，考查学生边与角之间互化的关系，及利用三角函数的图像和性质求解范围. 邻边邻角转三角函数问题 利用正弦定理或余弦定理进行边长和面积的表示，求解范围 高频易错点，常出现在解答题中，考查学生对边和角之间的理解，及利用数形结合思想求解取值范围. 知识点01 正弦定理，射影定理，三角形内角和关系 1、正弦定理：（为三角形外接圆直径）； 变形可得边角互化公式：. 2、射影定理：. 3、三角形内角和定理： （1）内角和定理：；（2）和差角变形： ； ； ； . ·易错点：射影定理太会使用，三角形内角和关系式的转化上存在不足. 知识点02 余弦定理，边角互化，面积公式 1、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式：；；. 变形：；；. 2、边角互化：一般情况只有两种情况使用角化边，其他一切均可使用边化角： ①全部角度都是型；②涉及到的角度带有平方. 3、面积公式：. ·易错点：余弦公式的错误使用，边角互化上存在转化上的不足. 知识点03 中线和角平分线的求解 1、中线问题（等分点问题） 中点或等分点，用向量进行表示，平方表示对应的长度： ①在中，若为边上的中点，则； ②在中，若为边上一点，且满足，则. 2、角平分线问题 在中，若为边上一点，且平分,则： ①角平分线定理：（用正弦定理推导）； ②等面积法：，即. ·易错点：等分点线的向量表示方式出现错误，角平分线边关系的推导存在不足. 知识点04 对边对角，邻边邻角范围的表示 1、对边对角：可以画定弦长对应的圆周角上一点的变动，直观感受三角形的变化，单边求解一般用正弦定理转化为角的计算，乘积或者平方一般使用余弦定理转化为基本不等式求解最值. 2、邻边邻角：可以画定线段和邻角的射线，利用锐角、钝角三角函数关系，直观感受三角形顶点的变化，一般用正弦定理进行边转化为角度的计算. ·易错点：求解范围时，用余弦定理结合基本不等式只能求解出其中一个最值. 题型一 正弦定理的应用 解｜题｜技｜巧 正弦定理多用于边角互化，已知两角一边、两边及其中一边对角时优先使用；可判断三角形解的个数，也能结合三角恒等变换求角、边长与面积。解题时常把边统一化为正弦，结合内角和定理化简计算。 易｜错｜点｜拨 忽略大边对大角，出现增根、漏解； 忘记三角形内角范围，误判角为锐角 / 钝角； 多解问题未分类讨论，直接得出单一答案。 【典例1】．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理，得. 又，所以，所以. 故选：B. 【变式1】．在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A． B．或 C．60° D．或 【答案】A 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 【变式2】．记的内角的对边分别为，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理与正弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 题型二 余弦定理的应用 解｜题｜技｜巧 余弦定理适用于已知三边、两边及其夹角，也可用来求角、判定三角形形状。解题常直接套公式计算边长，或变形求余弦值判断角度；结合边角关系统一化边或化角，搭配面积公式综合解题。 易｜错｜点｜拨 忽略角的范围，由余弦值正负判断钝角、锐角时出错；公式记错、代入数值计算失误；多三角形题型中混淆对应边与角，乱用定理导致结果偏差。 【典例1】．在中，内角的对边分别为.若，，且则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可. 【详解】因为，，且 由余弦定理知， ， 解得， 故选： 【变式1】．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件结合余弦定理求出即可得解. 【详解】在中，因， 由余弦定理得，而， 所以. 故选：D 【变式2】．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．则的值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】结合余弦定理求得，，由此求得，进而求得，从而求得的值. 【详解】∵，∴由余弦定理可得：，所以， 又．∴．∴， ∴，． ∴． ∵，∴． ∴． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：结合余弦定理求得，，由此求得. 【变式3】．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 题型三 三角形形状的判断 解｜题｜技｜巧 主要利用正、余弦定理做边角互化：统一为边，通过因式分解、配方判断边长关系；统一为角，结合三角公式分析角的大小。也可根据余弦正负判定角为锐角、直角或钝角，进而确定三角形类型。 易｜错｜点｜拨 化简时随意约去含边 / 角的式子，遗漏零解情况；混淆锐角、钝角三角形判定条件；仅凭一个角下结论，忽略三角形整体角度范围，造成判断失误。 【典例1】．（多选）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】AC 【分析】根据函数在上单调性，即可判断A；根据正弦定理得到，与正弦函数的值域为相矛盾，可知不存在这样的角，即可判断B；将变形为，即或，即可判断的形状，进而判断C；由，及的范围分析得到都是锐角，即可判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 对于C，因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 【变式1】．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 【变式2】．（多选）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（ ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 【答案】AC 【分析】根据正弦定理,余弦定理逐个进行边角互化即可. 【详解】对于A,由正弦定理得,所以,即,所以是等边三角形,故A正确； 对于B,由正弦定理得,又, 所以,所以或者,则或者, 则是等腰三角形或者直角三角形,故B错误； 对于C,由正弦定理得,当且仅当，即时等号成立, 所以,又,所以,即, 此时,是等腰直角三角形,故C正确； 对于D,因为, 所以或者,即A或者B为钝角,所以是钝角三角形,故D错误． 故选:AC． 题型四 判断三角形解的个数 解｜题｜技｜巧 已知两边及其中一边对角时，用正弦定理结合大边对大角判断解的个数。先求出对角正弦值，再对比边长、结合角的范围分析：分无解、一解、两解三种情况。也可结合图像、临界边长求参数取值范围，分类讨论临界状态。 易｜错｜点｜拨 忽略三角形内角范围；未判断正弦值是否大于 1 导致误判无解；两解情形漏讨论；求范围时漏掉边界取值，分类不全出现漏洞。 【典例1】．在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解. 【详解】的外接圆的半径， 如图所示，,是圆的直径. 可知点在优弧上（不包括端点）， 当为时，此时取到最大值； 当点从点A到时，此时越来越大，且； 当点从点到C时，此时越来越小，且； 综上所述：若只有一个解，则的取值范围为. 故选：D. 【变式1】．在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 【变式2】．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（ ） A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【分析】由题意知且，所得范围取交集，找出符合范围的a的值即可. 【详解】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 题型五 三角形的面积 解｜题｜技｜巧 常用面积公式，结合正、余弦定理边角互化。已知两边及夹角直接计算；缺条件时先求边、角或夹角正弦值，也可结合周长、最值问题联立求解。 易｜错｜点｜拨 混淆面积公式形式，错用角与对应边；计算时忽略两角可能性；求最值时忽视三角形三边、内角的限制条件，取值范围出错。 【典例1】．在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为______. 【答案】/ 【分析】由辅助角公式可得，结合，可求得，再利用余弦定理可得，结合可求得，从而可判断为直角三角形，即可求解. 【详解】由题意，即，因为，所以. 由余弦定理可知， 因为，所以，代入解得， 此时，所以为直角三角形， 所以的面积为. 故答案为：. 【典例2】．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）；（2） 【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 考点：正余弦定理解三角形. 【变式1】．（多选）已知中，内角所对的边分别为，则（ ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 【答案】AC 【分析】利用二倍角公式判断A，利用余弦定理判断B，利用三角形面积公式判断C，利用正弦定理求出外接圆的半径，再结合圆的面积公式求解面积判断D即可. 【详解】因为，所以由二倍角公式得， 在中，可得，则，得到， 解得，得到，故A正确， 对于B，由题意得，由余弦定理得， 解得（负根舍去），故B错误， 对于C，由三角形面积公式得， 则的面积为，故C正确， 对于D，设外接圆的半径为，外接圆面积为， 由正弦定理得，解得， 由圆的面积公式得， 则外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC 【变式2】．在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________． 【答案】 【分析】因为，化简得到，由余弦定理，得到，所以三角形面积为. 【详解】因为， 由余弦定理得到，化简得到， 由余弦定理，得到； 得到； 所以三角形面积为. 故答案为：. 【变式3】．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知中，角，，所对的边分别为，，，若_________. (1)求角； (2)若，且的面积为，求边，的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）选①：借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式与辅助角公式计算即可得解；选②：借助正弦定理将边化为角后结合同角三角函数基本关系计算即可得；选③：利用三角形内角和及正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助面积公式与余弦定理计算可得、，再利用完全平方公式计算即可得解. 【详解】（1）若选①； 由正弦定理可得， 由， 故， 即，由，故， 即，则， 即，又，故，即； 若选②； 由正弦定理可得，即， 由，则，故，故； 若选③； 由，则得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，故； （2），则， 由余弦定理可得，即，即， 则，， 故，，故. 题型六 三角形的实际应用 解｜题｜技｜巧 先根据题意画出示意图，标注已知边、角，将实际场景转化为三角形模型。分清仰角、俯角、方位角等概念，结合正、余弦定理分步求解，复杂问题可拆分多个三角形依次计算。 易｜错｜点｜拨 方位角、仰俯角理解偏差，画图出错；角度换算失误；忽略实际场景隐含的角度、边长限制；多三角形衔接时看错对应边角，导致计算错误。 【典例1】．如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（在同一水平面上）测得M点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离为________m． 【答案】 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故答案为： 【变式1】．中卫一中数韵社某同学为了测量学校天文台的高度，选择附近宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设和点在同一平面内，则该同学可算得学校天文台的高度为__________m． 【答案】 【分析】在中求出斜边，在中根据正弦定理求出，最后在中求解即可. 【详解】， 在直角三角形中，， 由题知，， 在中根据正弦定理，，解得， 于是在中，. 故答案为： 【变式2】．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则_____． 【答案】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 题型七 三角形的中线，等分点线 解｜题｜技｜巧 遇中线、等分线段，优先用中线公式、向量分解，也可延长中线构造全等三角形。结合正、余弦定理在拆分出的小三角形中边角互化，等分点可按线段比例设边长，分步列式求解。 易｜错｜点｜拨 混淆中线、等分线对应的边角关系；构造辅助线后看错线段长度与角度；比例换算出错；跨三角形套用定理时，误用不对应的边和角。 【典例1】．在中，. (1)求的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 【答案】(1) (2)选条件①，不存在；选条件②，边上的中线的长为1；选条件③，边上的中线的长为1. 【分析】（1）根据正弦定理与和差的正弦公式计算即可. （2）选条件①，根据三角形面积公式和余弦定理计算即可；选条件②，根据余弦定理计算即可；选条件③，根据和差的正弦公式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理及，得.（i） 因为，所以.（ii） 由（i）（ii）得. 因为，所以.所以. 因为，所以. （2）选条件①，的面积为，即，即，解得， 因为，由余弦定理得，即，解得， 由基本不等式得，但，故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：，两边平方得，（iii） 由余弦定理得，即，（iv） 联立（iii）（iv）得，所以， 设边上的中线长为，由余弦定理得. 所以边上的中线的长为1. 选条件③：.由（1）知，. 所以. 所以. 因为，所以.所以，即. 所以是以为斜边的直角三角形. 因为，所以，所以边上的中线的长为. 【典例2】．在中，的对边分别为，，，且满足_______________. 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题. (1)求； (2)若面积为，，点在线段上，且，求的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）选择①：利用正弦定理和余弦定理可得，即； 选择②：由诱导公式可得，再结合可得； （2）根据三角形面积以及角的正切值可解得，再由点的位置关系利用向量可求出结果. 【详解】（1）若选择①， 由可得， 利用正弦定理可得，整理可得； 所以，又， 可得. 若选择②, 由诱导公式可得； 由可得， 可得，所以， 即. （2）如下图所示： 由面积为可得，即， 又且，所以； 又可得； 易知， 由可得， 即可得； 由点在线段上，且，可得， 所以 即的长为. 【变式1】．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，为的中点，求. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角形内角和及三角恒等变换，即可求得； （2）先由余弦定理求边，进而根据向量的模长公式即可求解. 【详解】（1）在中，根据正弦定理，由，可得， 又，所以， 所以， 即， 即，又，所以， 所以，即， 又，所以； （2）在中，由（1）知，又，， 由余弦定理，可得，即， 化简得，解方程得（舍）或， 又为的中点，所以， 两边同时平方，得， 即， 所以，即. 【变式2】．在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，. (1)求； (2)已知，是边的中点，且，求的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换整理可得，所以； （2）根据（1）中结论以及等面积法可得，再由余弦定理列方程计算求出各边长，利用勾股定理可得. 【详解】（1）由正弦定理可得， 所以由可得， 又因为，所以， 因此可得，即， 又，所以， 因此，又, 可得； （2）如下图所示： 由（1）中以及，可得， 因为是边的中点，所以， 即，可得， 由余弦定理可得 又已知，所以， 所以， 可得 即的长为. 【变式3】．在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，，且_________. (1)求角的大小； (2)设是上一点，且，，求面积的最大值.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）若选①，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；若选②，依题意可得，根据数量积的坐标表示及正弦定理将边化角，即可得解；若选③，利用余（正）弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）在、中分别利用余弦定理表示出、，再由，可得，再在中利用余弦定理得到，再由基本不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）选①，，由正弦定理知， ∴， ∵，，∴， ∵，. 选②，因为，且， 所以， 由正弦定理知，， ∵，，∴， ∵，∴. 选③，∵，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∵，∴. （2）由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∵，∴， 化简得. 在中，， ∴，整理得， ∵（当且仅当时取等号）， ∴， ∴， 即面积的最大值为. 题型八 三角形的角平分线，张角定理 解｜题｜技｜巧 遇到角平分线，可使用角平分线定理转化边长比例，也可拆分出两个小三角形，结合正、余弦定理列式。还能利用角相等得到三角函数关系，或作辅助线构造相似三角形辅助求解。 易｜错｜点｜拨 记错角平分线定理比例关系；拆分三角形后混淆对应边角；忽略两角相等的隐含条件；计算时误将角平分线当作中线使用，造成解题偏差。 【典例1】．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 【答案】(1)；(2)；(3)直角三角形 【分析】（1）由三角形面角公式、数量积的定义得，结合即可求解； （2）根据等面积法即可求解； （3）法一：根据题目得到即可；法二：只需说明即可. 【详解】（1）由，可得， 即，即，因为，所以； （2）因为AD是△ABC的角平分线，且，，设， 因为，可得， 即，解得，即． （3）法一：（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或 当时，可得，此时，可得△ABC为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，△ABC为直角三角形． 法二：由，则， 所以， ， 又因为，所以，，综上，△ABC为直角三角形． 【典例2】．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【答案】9 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. ［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式． 因为，所以，化简得，即，亦即， 所以， 当且仅当，即时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式 如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以． 下同方法一． ［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一． ［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，下同方法一． ［方法六］：相似＋基本不等式 如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则． 由，得，即，从而．下同方法一． 【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解； 方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大； 方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值； 方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大； 方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多； 方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单． 【变式1】．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 【答案】（1）；（2）,1 【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： （1），， ∵，，∴． 由正弦定理可知. （2）∵，， ∴． 设，则， 在△与△中，由余弦定理可知， ， ， ∵，∴， ∴，解得， 即． 考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 【变式2】．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【详解】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 题型九 解多个三角形和四边形 解｜题｜技｜巧 将图形拆分为多个独立三角形，逐个标注边角。以公共边、公共角为衔接点，先用已知条件解基础三角形，再把结果代入相邻图形。灵活搭配正、余弦定理与面积公式，分步推导求解。 易｜错｜点｜拨 看错图形中公共边、公共角；不同三角形间边角对应混乱；拆分图形后遗漏隐藏角度关系；连续计算中累积运算错误，忽略图形几何约束。 【典例1】．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 【典例2】．如图，在平面四边形中，, (1)求的值； (2)求的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)在中已知两边与一角,利用余弦定理即可求出第三条边的长度,再利用余弦定理即可求出角的正弦值. (2)由(1)三角形的三条边,根据正余弦直角的关系可得角的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也可求的),角之和为,其中两个角的正余弦值已知,则可以利用余弦的和差角公式求的角的余弦值,长度已知,利用直角三角形中余弦的定义即可求的长. 【详解】如图设 (1)在中,由余弦定理可得,于是又题设可知,即,解得(舍去), 在中,由正弦定理可得, 即. (2)由题设可得,于是根据正余弦之间的关系可得,而,所以 ,在中,, 所以. 考点：正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之间的关系 【变式1】．如图，在中，，，点在边上，且，. （1）求； （2）求的长. 【答案】（1）；（2）7. 【详解】（I）在中，∵，∴ ∴ （II）在中，由正弦定理得： 在中，由余弦定理得： ∴ 考点：正弦定理与余弦定理． 【变式2】．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 【答案】(1)(2) 【详解】试题分析： (1)利用题意结合余弦定理可得； (2)利用题意结合正弦定理可得：. 试题解析： （I）在中，由余弦定理得 (II)设 在中，由正弦定理， 故 点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 题型十 对边对角的范围 解｜题｜技｜巧 利用正弦定理实现边角互化，结合大边对大角、三角形内角和约束范围。借助三角函数单调性、最值分析角或边的取值，遇到最值问题可转化为函数求解，同时兼顾三边不等关系。 易｜错｜点｜拨 忽略内角的限制；误用边角大小关系；求值域时未考虑角度范围导致区间出错；联立条件时遗漏三边不等关系，范围判定不全。 【典例1】．（多选）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．△ABC的外接圆的面积2π C．△ABC的面积的最大值是 D．b＋c的取值范围是 【答案】CD 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆的面积公式求解即可；对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解即可；对于D项，由正弦定理边化角可得，求此函数的值域即可. 【详解】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项错误． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得， 则，， 所以 是锐角三角形，，所以， 所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：CD. 【典例2】．已知的内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合正弦定理建立方程，求解角. （2）已知两边及夹角，直接利用余弦定理求第三边，再用面积公式计算. （3）利用正弦定理将表示成关于角的函数，再求出函数的取值范围即可. 【详解】（1）且，. 由正弦定理，得， 代入上式得， ，又，. （2）在中，由余弦定理：. 又，代入上式得，或（舍）. . （3）在中，，由正弦定理得. . 又，. . ，，. 即的取值范围是. 【变式1】．已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式和余弦定理，余弦函数的图象即可求得答案； （2）先由（1）的结论和基本不等式推出，利用三角形面积公式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）由（1）得，即， 当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，面积的最大值为． 【变式2】．已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案； （2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 所以， 又，所以； （2）由（1）知，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是. 【变式3】．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求cosC的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值. 试题解析：（1）由题意知，， 化简得： 即，因为，所以， 从而，由正弦定理得. （2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理. 【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键. 题型十一 邻边邻角的范围 解｜题｜技｜巧 结合内角和、两角互制关系限定邻角范围，利用余弦定理建立邻边关系式，搭配三边不等约束。可将边角转化为三角函数，借助单调性、有界性求范围，也可结合大边对大角辅助分析。 易｜错｜点｜拨 忽略两角和小于 π 的隐含条件；混淆邻边、对边对应关系；转化三角函数时未缩窄定义域；遗漏三边大小约束，最终范围偏大或偏小。 【典例1】．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到； （2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围； 方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以； （2）方法一：因为是锐角三角形，又， 所以，解得， ， 因为，∴，则， 从而. 方法二： 若为锐角三角形， 所以， 因为，，所以， 所以， 又因为， 所以. 【变式1】．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角公式化简得到，从而求出，由余弦定理得到； （2）由正弦定理，结合为钝角三角形，得到，从而由三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为，所以，即． 因为，，所以，，． ，解得； （2）的面积． 由正弦定理得 ， 因为为钝角三角形，所以或， 即或，故， 所以， 所以． 故面积的取值范围是． 【变式2】．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； （2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长； （3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； （2）因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； （3）在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 题型十二 利用三角函数求解最值 解｜题｜技｜巧 借助正、余弦定理把边化为角，统一成单一三角函数形式。利用三角恒等变换化简解析式，结合三角形内角范围确定定义域，再根据三角函数单调性、最值规律求解。也可结合辅助角公式简化运算。 易｜错｜点｜拨 忽略内角取值区间，导致最值判断错误；恒等变换公式运用出错；化简后未结合三角形隐含条件缩范围；混淆三角函数单调区间，求得错误极值。 【典例1】．如图，在平面四边形中，，，，. (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在用余弦定理求长度，再根据等腰三角形性质求，进而得，然后在用正弦定理求，结合几何情况确定大小. （2）把四边形面积拆成与面积之和，根据范围求面积最大值. 【详解】（1）由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. （2）由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 【典例2】．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【变式1】．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且． (1)求角B的大小； (2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理计算可得； （2）在中，由余弦定理得到，从而得到，再由从而得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】（1）解：在中，由， 有， 则， 即，∵， 所以． （2）解：在中，， ∴， 又，则为等腰直角三角形， ， 又， ∴， 当时，四边形的面积最大值，最大值为． 【变式2】．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1)平方米. (2)平方米. (3)，最大值为. 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【详解】（1）由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. （2）因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. （3）在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 2．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得， 三角形面积，则， 即， ， ， ， ． 3．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解. 【详解】根据题意，， 则，即， 则，又，所以， 所以. 4．已知的内角的对边分别为，满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系及辅助角公式得到，即，结合正余弦定理得到，与联立解得，，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，得 则，所以. 与联立，解得，. 所以. 又，所以. 5．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A．80 B．120 C． D． 【答案】C 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 6．在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 二、多选题 7．在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 8．在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的有（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．的周长是 【答案】AC 【分析】根据正弦定理及积化和差公式、诱导公式可将已知式子化简，再利用辅助角公式及三角函数的有界性可求得，进而可判断各选项. 【详解】由正弦定理得， 由积化和差公式得， 将，，代入得 ， 整理得， 由辅助角公式得， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 又为三角形的内角， 所以，即，故A正确； 所以，解得，所以，故B错误； 由知为等腰三角形且，故C正确； 由等腰三角形的性质知，所以的周长是，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 【答案】2 【分析】根据三角形面积公式、向量的数量积及余弦定理求解即可. 【详解】由的面积为，即， 又， 两式相除得，又，所以，所以， 又，所以. 由余弦定理， 所以. 10．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 【答案】90 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 四、解答题 11．已知，其内角的对边分别为，且． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合展开化简，求得，再结合可得； （2）由面积公式求，用余弦定理求，再次在中用余弦定理，得AD的长. 【详解】（1）由题意和正弦定理得， 且， 即， 得，且，则， 可得且，所以. （2）如图： 因为 由所以解得， 在中，由余弦定理得 则又D为BC边上的中点，所以 在中，由余弦定理得，则 在中，由余弦定理得 所以 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理、二倍角的余弦公式及正弦定理求解. 【详解】在中，由，得为钝角，， 由及正弦定理， 得，由余弦定理得， 则， 即，由正弦定理得，则， 而函数在上单调递增，且，于是， ，又，因此， 所以. 故选：C 3．在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式可求得的值，结合余弦定理可得出的值，然后利用连比定理可求得结果. 【详解】由三角形的面积公式可得，解得， 由余弦定理可得，故， 由正弦定理知， 由连比定理可得. 故选：B. 4．在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用余弦定理先计算出的值，然后即可求解出的值. 【详解】解：， ，即， 且有意义即， ， 在中，为或， 故选：． 5．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 6．记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二、多选题 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b．c．若，角A的平分线交于点D，，，则以下结论正确的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】AC 【分析】利用面积法求边验证选项A；利用内角平分线定理验证选项B，面积公式计算验证选项C；余弦定理求边验证选项D 【详解】如图所示， ，则，， 由，即有， 所以，因为，所以，故A正确； 由内角平分线性质可知，，即，故B错误； ，故C正确； 在中，由余弦定理得， 所以，故D错误． 故选：AC 8．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A．若则是等腰三角形 B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 C．，，BC边上的中线，则的面积为 D．若，则为钝角三角形 【答案】BC 【分析】对于A利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或判断；对于B应用余弦定理求即可判断； 对于C借助向量的数量工具，求得，由余弦定理即可求得，由面积公式求得三角形面积即可判断;对于D由向量数量积定义判断； 【详解】对于A：由正弦定理得，则， 则中或，故A错误； 对于B：由，则， 可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确； 对于C：设，容易知， 故可得， 可得，解得. 由余弦定理可得； 由，可得. 故可得三角形面积为.,故C正确； 对于D，即， 为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误； 故选：BC 三、填空题 9．在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________． 【答案】 【分析】因为，化简得到，由余弦定理，得到，所以三角形面积为. 【详解】因为， 由余弦定理得到，化简得到， 由余弦定理，得到； 得到； 所以三角形面积为. 故答案为：. 10．已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c． ①若，，，则该三角形有两解 ②若，则一定为等腰三角形 ③若，，，G为的重心，P为线段BG上一点，则的最大值为20 ④若，则是等边三角形 以上结论中正确的是______(填相应序号)． 【答案】③④ 【分析】利用余弦定理即可判断①；利用正弦定理化边为角即可判断②；先利用余弦定理求出，延长交于，设，将分别用表示，再根据数量积的运算律结合二次函数即可判断③；根据角的范围结合余弦函数的性质可得，进而可判断④. 【详解】对于①，由余弦定理得， 即，解得， 又，所以，即该三角形只有一解，故①错误； 对于②，因为， 由正弦定理得，即， 又，则， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故②错误； 对于③，因为，，， 所以， 所以， 延长交于， 因为G为的重心，所以为的中点， 则，， 设， ， ， 故 ， 对称轴为， 所以当时，取得最大值，故③正确. 对于④，因为，所以， 所以， 因为， 所以， 此时，所以， 即是等边三角形，故④正确. 故答案为：③④. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 四、解答题 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A； (2)若D是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【详解】（1）解：由正弦定理可知， ， ， 又，， ， ，， ，； （2）解：由（1）及余弦定理得，即①， 又因为，则， 则， 即， 所以②， 由得， 所以； （3）解：由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中,，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 2．在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 3．在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【详解】由余弦定理得，即，即，又， ，即，当且仅当时等号成立. ， . . 故选：B 4．（多选）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由正弦定理进行边角互化可得B，再利用正弦定理可得外接圆的半径；对于BC，利用余弦定理结合基本不等式可得的最值及的最值；对于D，根据向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值. 【详解】对于A：，由正弦定理得， 即，即， 因为，所以，所以，， 因为，则，令外接圆的半径为, 根据正弦定理可得，即，故A正确； 对于C：由余弦定理知，， 因为，，所以，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，故C正确； 对于B：由C知，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故B错； 对于D：因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 5．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据余弦定理和三角形面积公式将等式化简可求出角的值，然后确定的范围，最后根据正弦定理即可求出的范围. 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由为锐角三角形可得：，所以 所以. 故答案为：. 6．如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，求的长； (3)若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件化简等式求出，结合三角形的内角求出； （2）根据已知条件求出相关边、角，再利用余弦定理求解； （3）根据余弦定理和三角形面积公式，结合正弦函数的性质求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， ， ， ， 又， ． （2）由得，为等边三角形， ， 由，得， ， 在中，已知， 由余弦定理：， 则， ． （3）在中，， ， ， ， ， ． 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $