第2章 §5 5.2 5.3 利用数量积计算长度与角度（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标表示及长度、角度、垂直的坐标运算，课堂导入通过回顾数量积性质与向量坐标运算，以“能否用坐标表示数量积”设问，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过“思考-推导-例题-跟踪训练”的逻辑链，结合数学思维的推理与数学语言的表达，如例4用坐标法证明正方形中DP⊥EF，培养学生用数学眼光解决几何问题。课堂小结强调易错点，助力教师教学，提升学生逻辑推理与应用能力。

5．2　向量数量积的坐标表示 5．3　利用数量积计算长度与角度 1 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？ 1.能够推导出两个向量数量积的坐标表示，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2．掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用． 3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决有关长度、角度、垂直等问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　平面向量数量积的坐标运算 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， 所以a·b＝x1x2＋y1y2. 返回导航 [知识梳理] 条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 坐标表示 a·b＝____________ 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的__________ x1x2＋y1y2 乘积的和 返回导航 [例1] (1)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 【解析】　因为a＝(0，1)，b＝(1，0)，所以a－b＝(－1，1)， 所以a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1. √ 返回导航 　3 返回导航 (1)进行向量数量积的坐标运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积． 返回导航 √ [跟踪训练1] (1)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选C． 返回导航 返回导航 返回导航 [知识梳理] 条件 结论 a＝(x，y) |a|＝____________ 表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝___________________________ 返回导航 √ [例2] (1)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则|a－2b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　由题知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，所以a－2b＝(－3，－4)，所以|a－2b|＝5，故选D． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ [跟踪训练2] (1)已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确 返回导航 (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝________． 5 返回导航 三　平面向量夹角与垂直的坐标运算 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用坐标表示两非零向量垂直的充要条件？ 提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0. 返回导航 x1x2＋y1y2 返回导航 【解析】　方法一：因为(a－λb)⊥(a＋2b)，所以(a－λb)·(a＋2b)＝a2＋(2－λ)a·b－2λb2＝0，a2＝4，b2＝2，a·b＝－2， 故4－2(2－λ)－4λ＝－2λ＝0，解得λ＝0. 方法二：因为a－λb＝(－λ，－2－λ)，a＋2b＝(2，0)， 由(a－λb)⊥(a＋2b)得(a－λb)·(a＋2b)＝－2λ＋(－2－λ)×0＝0，解得λ＝0. √ 返回导航 (2)(对接教材例3)已知向量a，b满足a＋2b＝(3，1)，2a－3b＝(－1，2)，则a与b的夹角为__________． 返回导航 返回导航 返回导航 √ [跟踪训练3] (1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 返回导航 (2)已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，1)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为________． 返回导航 四　向量的坐标运算在平面几何中的应用 [例4] 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任意一点(不包含端点)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 返回导航 返回导航 返回导航 解题时，要根据题意选择恰当的方法：向量几何法和坐标法．在直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直角梯形等特殊图形中，建立平面直角坐标系，转化为坐标运算较为简单． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 35 1．(多选)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a⊥b D．a∥b 解析：由于a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a≠b，故A错误； 因为1×1＋1×(－1)＝0，所以a⊥b，故C正确； 因为1×(－1)－1×1≠0，所以a，b不平行，故D错误． √ √ 返回导航 2．(2025·萍乡月考)已知向量a＝(1，2)，b＝(2－λ，λ)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是_________________________． 返回导航 3．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，a⊥(a－b)，则|a|＝________． 返回导航 4．已知向量a＝(－2，λ)，b＝(1，1)，且a⊥b，则λ＝________，向量a－b在向量b上的投影向量为__________________． 2　 (－1，－1) 返回导航 1．已学习：向量数量积的坐标表示、利用数量积计算长度与角度． 2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式解决向量间的垂直、夹角及长度等几何问题． 3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标形式； (2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况． 返回导航 [跟踪训练4] (1)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________． (－2，)∪(，＋∞) $