第2章 4.1 平面向量基本定理(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.1　平面向量基本定理 课标要求 理解平面向量基本定理及其意义（数学抽象）. 　　共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ 【问题】　如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　平面向量基本定理 平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2} 正交基 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解 标准正交基 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基 　　提醒：（1）对平面向量基本定理的再理解：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，说明e1，e2均不为零向量；（2）基具备两个特征：①基是由两个不共线的向量构成的；②基的选择是不唯一的. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.（　　） （2）零向量可以作为基中的向量.（　　） （3）当一个平面内的一组基确定之后，平面内任何一个向量均可由这一组基唯一表示.（　　） 2.设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝4e1，＝6e2，则2e1－3e2＝（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 3.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中能作为基的是　　　　. ①e1，e2；②e1，2e1；③e1，2e2；④e2，2e2. 题型一｜平面向量基本定理的理解 【例1】　〔多选〕如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基，λ，μ是实数，则下列说法正确的是（　　） A.若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 B.对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对 C.线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量 D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量 尝试解答 通性通法 对基的理解 （1）同一平面内两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作为基，反之，则可作为基； （2）一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，其线性表示是不同的. 【跟踪训练】 1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为一组基的向量是（　　） A.， B.， C.， D.， 2.已知向量a，b是平面内的一组基，则下列四组向量中也能作为平面内向量的一组基的是（　　） A.a－b，b－a B.a，b－a C.0，a D.a＋b，2a＋2b 题型二｜用基表示向量 【例2】　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基{a，b}表示，. 尝试解答 通性通法 用基表示向量的两种基本方法 　　一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基表示向量的唯一性求解. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，点D满足＝3，则（　　） A.＝＋　 B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 2.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为　　　　. 题型三｜平面向量基本定理的应用 【例3】　在△ABC中， （1）若D是BC边的中点，求证：＝（＋）； （2）若点M满足＋＋＝0，求证：点M是△ABC的重心. 尝试解答 通性通法 用向量解决平面几何问题的一般步骤 （1）选取不共线的两个平面向量作为一组基； （2）将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； （3）利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解； （4）再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 【跟踪训练】 如图，在▱ABCD中，F是边CD的中点，AF与BD交于点E，用向量方法证明：点E为线段BD的三等分点. 1.设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中不能作为基的是（　　） A.e1＋2e2和e1－e2　 B.4e1＋2e2和2e2－4e1 C.e1－2e2和4e2－2e1 D.2e1＋e2和e1＋2e2 2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若＝x＋y，则x＝（　　） A.2　　　B.　　　C.　　　D. 3.在四边形ABCD中，AB＝2，单位向量与平行，P是BC的中点，AP∩DC＝Q，则＝　　　（用，表示）. 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线. 提示：完成课后作业　第二章　§4　4.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ §4　平面向量基本定理及坐标表示 4.1　平面向量基本定理 【基础落实】 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.B　如图，＝＝（－）＝2e1－3e2. 3.①③　解析：由于e1，e2不共线，则e1，2e2不共线，所以①③中的向量组都可以作为基；因为e1与2e1共线，e2与2e2共线，所以②④中的向量组都不能作为基. 【典例研析】 【例1】　AC　A正确：若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0；B不正确：由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定；C正确：平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；D不正确：结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定. 跟踪训练 1.B　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为一组基，与不共线，可作为一组基.故选B. 2.B　对于选项A，a－b＝－（b－a），所以a－b，b－a共线，所以不能作为一组基；对于选项B，b－a≠λa，所以a，b－a不共线，所以可以作为一组基；对于选项C，0，a共线，所以不能作为一组基；对于选项D，2a＋2b＝2（a＋b），所以a＋b，2a＋2b共线，所以不能作为一组基.故选B. 【例2】　解：法一　由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b. 法二　设＝x，＝y，则＝＝y， 又则 所以x＝a－b，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b. 跟踪训练 1.A　＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.故选A. 2.　解析：由题意，得＝（＋）.又＝＝－，所以＝（－＋2）＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝. 【例3】　证明：（1）因为D是BC边的中点，所以＝＝，于是＝＋＝＋＝＋（－）＝＋. （2）如图，设E是AB边的中点.因为＋＋＝0， 所以＋＝－， 又＋＝2， 所以＝－2，于是M，C，E三点共线，即点M在中线CE上，且是靠近AB边中点的一个三等分点，因此，M是△ABC的重心. 跟踪训练 　证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a. 因为点A，E，F与点B，D，E分别共线， 所以存在实数λ，μ，使＝λ，＝μ， 于是＝a＋λb，＝μb－μa.因为＋＝，所以（1－μ）a＋μb＝a＋λb.因为a与b不共线， 所以 解得λ＝μ＝， 所以＝，所以点E为线段BD的三等分点. 随堂检测 1.C　作为基的两个向量一定不共线，A，B，D中不存在实数λ，使e1＋2e2＝λ（e1－e2），4e1＋2e2＝λ（2e2－4e1），2e1＋e2＝λ（e1＋2e2），故可以作为一组基；C中，4e2－2e1＝－2（e1－2e2），即存在λ＝－2，故它们共线，不能作为一组基.故选C. 2.C　在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，因为＝＋，＝＋＝－，所以＝x＋y＝（x－）＋（＋y）.又＝＋， 所以 解得x＝. 3.2＋　解析：＝2＝2（＋）＝2＋. 4.证明：设＝e1，＝e2，则＝＝e2. ∵＝＝e2，＝＝e1. ∴＝－＝e2－e1. 又∵＝－＝e2－e1 ＝3＝3， ∴向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $