第2章 §1 从位移、速度、力到向量（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量的概念、表示、特殊向量（零向量、单位向量）、基本关系（共线、相等向量）及夹角，以军事演习导弹射击实例导入，通过“思考-知识梳理-例题-跟踪训练”支架，衔接实际问题到抽象概念的转化。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过菱形、梯形中向量关系等实例发展数学思维，用有向线段与符号（如$\overrightarrow{AB}$）强化数学语言表达。小结明确易错点，助力学生系统掌握，教师可借助结构化设计提升教学效率。

第二章　平面向量及其应用 1 §1　从位移、速度、力到向量 2 新课导入 学习目标 在一次军事演习中，某导 弹部队接到射击某目标的命 令．要使导弹击中目标，不 仅需要知道目标与导弹发射 地点间的距离，还需要知道导弹发射的方向．可用本节所要学的平面向量来表示．  1.通过实例了解向量的有关概念，掌握向量的表示方法． 2．理解相等向量、共线向量的概念． 3．会借助图形理解向量的夹角的概念，能在图形中识别向量的夹角． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　向量的概念及几何表示 大海中A，B两地相距15 n mile，位置如图．小船欲由A地航行到达B地． 思考　怎样下达航行指令，小船才能到达B地？ 提示：沿东南方向，航行15 n mile. 返回导航 [知识梳理] 1．概念：既有______又有______的量统称为向量． 2．表示： (1)有向线段：具有______和长度的线段，它包含三个要素：______、方向、长度． (2)向量的表示： 大小 方向 方向 起点 长度 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 用有向线段表示向量的方法 (1)画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． (2)具体步骤 返回导航 [跟踪训练1] (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出向量的个数为________． 12 返回导航 (2)如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移． 返回导航 二　零向量与单位向量 思考　在实数中，有“0”这样特殊的数，在向量中，终点与起点重合的向量的模是多少？ 提示：模为0. 返回导航 [知识梳理] 向量名称 定义 零向量 长度为 ___的向量，记作 ___或0 单位向量 模等于_________长度的向量 0 0 1个单位 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)向量的模都是正实数．(　　) (2)单位向量只有一个．(　　) (3)向量的大小与方向无关．(　　) (4)方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小．(　　) × × √ × 返回导航 √ 2．(多选)(2025·汉中月考)下列说法中正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的长度都为0 C．单位向量方向相同 D．单位向量的长度都相等 解析：对于A，B，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确； 对于C，D，单位向量是长度等于1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确． √ 返回导航 理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，零向量的模为0. (2)单位向量的模都相等，平面内同一起点的单位向量有无数个，所有的终点构成一个单位圆． 返回导航 提示：大小相等，方向相同． 提示：大小不等，方向相同． 返回导航 [知识梳理] 向量名称 定义 共线向量 (平行向量) 方向____________的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b. 规定：零向量与任一向量______，即对于任意的向量a，都有0∥a 相等向量 长度______且方向______的向量．向量a与b相等，记作a＝b 相反向量 长度相等、方向相反的向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a. 相同或相反 共线 相等 相同 返回导航 [例2] (对接教材例2)如图所示，△ABC和△A′B′C′是两个在各边的三等分点处相交的全等的等边三角形，图中画出了若干个向量． 返回导航 返回导航 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量． 返回导航 √ √ √ 返回导航 解析：若a≠b，可能存在这样的情况：两向量方向相同但长度不同，或两向量方向相反，此时它们仍为共线向量，A正确； 根据向量相等的定义，由a＝b，b＝c可得a＝c，C正确； 当|a|＝|b|且a，b方向相反时，a≠b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|且a∥b”的充分不必要条件，D错误． 返回导航 6 返回导航 返回导航 2．垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量______，即对于任意的向量a，都有0⊥a. 非零向量 ∠AOB 同向 反向 垂直 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 140° 返回导航 求向量的夹角要注意：①方向性；②向量夹角的范围为[0，π]. 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 36 1．(2025·桂林月考)若a为任一非零向量，b的模为1，给出下列各式中正确的是(　　) A．|a|≥|b| B．a∥b C．|a|>0 D．a⊥b 解析：|a|的大小不能确定，A错误； 两个非零向量的方向不确定，B，D错误； 非零向量的模是正实数，C正确． √ 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是____________． 解析：因为向量a与b的夹角为60°，所以向量－a与 －b 的夹角是60°. 60° 返回导航 4．在如图所示的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：向量的概念及表示，向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、向量的夹角． 2．须贯通：向量是既有大小又有方向的量，共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”、“平行”是不同的，共线向量所在的直线可以平行或者重合． 3．应注意：(1)零向量模为零，方向是任意的，不是没有方向； (2)所有的单位向量模都是1，方向未必相同； (3)求向量夹角时，两向量的起点需移到同一点处． 返回导航 || [例1] 如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了100m后到达点C，最后向东走了200 m后到达点D，发现点D在点B的正北方． 【解】　根据题意可知，点B 在坐标系中的坐标为(－200，0).因为点D在点B的正北方，点C在点D的正西方，所以BD⊥AB，BD⊥CD．又||＝100 m，||＝200 m，所以||＝300 m，即D(－200，300)，C(－400，300). 作出，，，如图所示． 三　向量的基本关系 思考1　如图所示，边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 思考2　如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ ， 四　向量的夹角 思考　如图，线段AB与CD交于点O，在所形成的角中，若我们把∠AOC称为与的夹角，则与的夹角是哪个角？∠BOC是哪两个向量的夹角？ 【解析】　向量与的夹角为∠ADB. 由菱形的性质知，在△ABD中， ∠ADB＝＝＝50°. $