第1章 §4 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦单位圆与正弦、余弦函数的基本性质，涵盖定义域、值域、周期性、单调性及函数值符号等核心知识点。课堂导入从单位圆与三角函数定义的天然联系切入，搭建从定义到性质的研究支架，引导学生思考探究方向，衔接已学三角函数定义，为性质学习奠定基础。 其亮点是以单位圆为核心工具贯穿教学，如用单位圆分析定义域（例1解不等式结合图形找角的范围）、值域（例2确定余弦值区间），体现数学眼光（几何直观）与数学思维（逻辑推理）。通过“感悟提升”和“课堂小结”梳理方法，帮助学生用数学语言表达规律，既培养学生直观理解与推理能力，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 1 新课导入 学习目标 　　根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”．因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具．这节课，我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质，试想应该从哪些方面进行研究呢？ 1.能利用三角函数的定义，理解正弦函数、余弦函数的基本性质． 2．初步运用正弦函数、余弦函数的基本性质解决相关问题． 3．掌握正弦函数值、余弦函数值在各个象限内的符号． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　定义域 [知识梳理] 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. 返回导航 返回导航 返回导航 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． 返回导航 返回导航 二　最大(小)值、值域 [知识梳理] 1．当自变量α∈R时，0≤|sin α|≤1，0≤|cos α|≤1. 2．当α＝_____________，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值____；当α＝______________，k∈Z时，正弦函数取得最小值____． 3．当α＝______，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值____；当α＝____________，k∈Z时，余弦函数取得最小值______． 1 －1 2kπ 1 (2k＋1)π －1 返回导航 返回导航 (2)已知函数y＝a sin x＋1的最大值为3，求它的最小值． 【解】　当a＞0时，ymax＝a×1＋1＝3，解得a＝2， 所以当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，解得a＝－2， 所以当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. 综上，它的最小值为－1. 返回导航 求正、余弦函数最值(值域)时的注意点 (1)求正、余弦函数的最值(值域)时应注意定义域，解题时可借助单位圆进行分析． (2)求含有参数的最值(值域)时，应注意对参数分类讨论． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 三　周期性 [知识梳理] sin (α＋2kπ)＝______，cos (α＋2kπ)＝______，其中k∈Z，α∈R，正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α均是周期函数，对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为__． sin α cos α 2π 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 求正弦、余弦函数值的主体思路是“负化正，大化小”，可利用周期性先把要求角的正弦、余弦函数值转化为[0，2π)内的角的正弦、余弦函数值．要熟记特殊角(0°，30°，45°，60°，90°，120°等)的正弦、余弦函数值． 返回导航 √ 返回导航 (2)sin 405°－sin 450°－cos 765°＝________． －1 返回导航 四　单调性 [知识梳理] 正弦函数v＝sin α在区间______________________________上单调递增， 在区间________________________上单调递减；余弦函数u＝cos α在区间______________________上单调递增，在区间_______________________上单调递减． [(2k－1)π，2kπ](k∈Z) [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z) 返回导航 返回导航 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能合并． 返回导航 √ √ √ 返回导航 解析：因为函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以A不正确，C不正确． 返回导航 √ 返回导航 五　正弦函数值和余弦函数值的符号 [知识梳理] 　　　　象限 三角函数　　　 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 返回导航 √ 返回导航 {－2，0，2} 返回导航 返回导航 正弦、余弦函数值的正负规律 返回导航 [跟踪训练5] (1)已知点P(cos 305°，sin 305°)，则点P所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为270°<305°<360°，所以305°角为第四象限角，所以cos 305°>0，sin 305°<0，所以点 P(cos 305°，sin 305°)在第四象限．故选D. √ 返回导航 返回导航 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线． 记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 拓视野 三角函数线 返回导航 提醒　三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正． 返回导航 sin α＜α＜tan α 返回导航 返回导航 返回导航 [练习1] 若a＝sin 2，b＝cos 2，则a，b的大小关系为(　　) A.a<b B．a>b C．a＝b D．不能确定 √ 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 44 √ 返回导航 2．如果点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，那么角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 √ 返回导航 [0，π] 返回导航 [－1，2] 返回导航 1．已学习：正弦、余弦函数的定义域，正弦、余弦函数的值域与最值，正弦、余弦函数的周期性和单调性． 2．须贯通：正弦函数值和余弦函数值都具有周期性，说明角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系． 3．应注意：单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误． 返回导航 解析：因为<2<，作出2的正弦线，余弦线．由图知sin 2>cos 2，即a>b. $