第1章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 1 1.能利用三角函数的定义，理解正弦函数、余弦函数的基本性质（数学抽象）. 2.初步运用性质解决相关问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，角α的 终边绕原点O旋转，其终边位置也呈现周期性变化. 【问题】　角α对应的正（余）弦函数的性质有哪些？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　正、余弦函数的性质 正弦函数（v＝ sin α） 余弦函数（u＝ cos α） 定义域 ⁠ 值域 ⁠ 最小值 当α＝ ⁠ 时，vmin＝－1 当 时， umin＝－1 最大值 当 ⁠ 时，vmax＝1 当α＝ 时，umax＝1 R [－1，1] － ＋2kπ，k∈Z　 α＝π＋2kπ，k∈Z　 α＝ ＋2kπ，k∈Z　 2kπ，k∈Z　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 正弦函数（v＝ sin α） 余弦函数（u＝ cos α） 周期性 周期函数，最小正周期为 ⁠ 单调性 在区间 ⁠ ，k∈Z上单调递增；在 区间 ⁠ ，k∈Z上单调递减 在区间 ⁠， k∈Z上单调递减；在区间 ⁠ ，k∈Z上 单调递增 2π ［2kπ－ ，2kπ＋ ］　 ［2kπ＋ ，2kπ＋ π］　 [2kπ，π＋2kπ]　 [－π ＋2kπ，2kπ]　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：正弦函数和余弦函数都具有周期性，即角α的终边每绕原点旋 转一周，函数值将重复出现一次，这说明了角与正弦函数值和余弦函数值 的对应关系是多角对一值的关系，即如果给定一个角，它的正弦函数值和 余弦函数值只要存在就是唯一的；反过来，如果给定一个正弦函数值和余 弦函数值，却有无穷多个角与之对应. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　正弦函数值和余弦函数值的符号 　如图所示： 正弦： 象限正， 象限负； 余弦： 象限正， 象限负. 一、二　 三、四　 一、四　 二、三　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 若 sin α＞0，则α的终边一定在第一或第二象限吗？ 提示：不一定.α的终边也可能在y轴非负半轴上. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是三角形的内角，则必有 sin α＞0. （　√　） （2）正弦函数y＝ sin α在R上不是单调函数. （　√　） （3）只有α＝ ＋2kπ，k∈Z时， sin α＝－1. （　√　） √ √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知 sin θ· cos θ＜0，那么角θ是（　　） A. 第一或第二象限角 B. 第一或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第二或第四象限角 解析：　∵ sin θ· cos θ＜0，∴ 或 ∴θ在第二象限或第四象限. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝－2 sin x的定义域是 ，值域是 ，最小正周期 是 ，在区间 上单调递增，在 区间 上单调递减. R [－2，2] 2π ［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z） ［2kπ－ ，2kπ＋ ］（k∈Z） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 （1）y＝ ； 解：自变量x应满足2 sin x－ ≥0，即 sin x≥ .图中阴影部分就是满足 条件的角x的取值范围，即{x｜2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z}. 题型一｜正、余弦函数的定义域 【例1】　求下列函数的定义域： 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）y＝lg ＋ . 解：（由题意知，自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解集如图（阴影部分）所示， ∴{x｜2kπ＋ ≤x＜2kπ＋ ，k∈Z}. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用单位圆解三角不等式的方法 （1）求解形如 sin α≥a， sin α≤a（｜a｜＜1）的不等式的具体方法 为： ①如图，画出单位圆； ②在y轴上截取OM＝｜a｜，过点M（0，a）作y轴的垂线，交单位圆 于P，P'两点，作射线OP，OP'； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ③写出以射线OP与OP'为终边的角； ④图中阴影部分（包括边界）为满足不等式 sin α≤a的角α的终边的范 围，空白部分（包括边界）为满足不等式 sin α≥a的角α的终边的范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求解形如 cos α≥a， cos α≤a（｜a｜＜1）的不等式的具体方法 为： ①如图，画出单位圆； ②在x轴上截取OM＝｜a｜，过点M（a，0）作x轴的垂线，交单位圆 于P，P'两点，作射线OP，OP'； ③写出以射线OP与OP'为终边的角； ④图中阴影部分（包括边界）为满足不等式 cos α≤a的角α的终边的范 围，空白部分（包括边界）为满足不等式 cos α≥a的角α的终边的范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 函数y＝ 的定义域为  .⁠ 解析：要使 有意义，则必须满足2 sin x＋1≥0，即 sin x≥－ ，结合单位圆（如图），知x的取值范围是［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z. ［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜正、余弦函数的单调性 【例2】　（1）在区间[0，2π]上，使y＝ sin x与y＝ cos x都单调递减的区 间是（　　） A. ［0， ］ B. ［ ，π］ C. ［π， ］ D. ［ ，2π］ 解析：　在区间[0，2π]上，y＝ sin x的单调递减区间是［ ， ］，y ＝ cos x的单调递减区间是[0，π]，所以y＝ sin x和y＝ cos x都单调递减的 区间是［ ， ］∩[0，π]＝［ ，π］.故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数y＝－ cos x，x∈［－ ，π］的单调区间. 解：函数y＝－ cos x，x∈［－ ，π］与函数y＝ cos x，x∈［－ ，π］ 的单调性相反，结合单位圆可知函数y＝ cos x，x∈［－ ，π］在［－ ，0］上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以函数y＝－ cos x，x∈ ［－ ，π］的单调递减区间为［－ ，0］，单调递增区间为[0，π]. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不 连贯的单调区间不能并. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求下列函数的单调区间： （1）y＝ sin x，x∈[－π，π]； 解：y＝ sin x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为［－ ， ］，单调递减 区间为［－π，－ ］，［ ，π］. （2）y＝ cos x，x∈[－π，π]. 解：y＝ cos x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为[－π，0]，单调递减区 间为[0，π]. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜正、余弦函数的值域与最值 【例3】　（1）求函数v＝－2 sin α，α∈［－ ， ）的值域； 解：在单位圆中，［－ ， ）范围内的角如图1中阴影 部分所示. α＝－ ∈［－ ， ），此时vmax＝－2 sin （－ ）＝2； α＝ ∈［－ ， ），此时vmin＝－2 sin ＝－2. 结合单位圆知函数的值域为[－2，2]. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数u＝－ cos α，α∈［ ， ］的最大值和最小值，并写出取 得最大值和最小值时的自变量α的值. 解：在单位圆中，［ ， ］范围内的角如图2中阴影部 分所示. 所以当α＝π时，u＝－ cos α取到最大值，最大值为－ cos π＝ . 当α＝ 时，u＝－ cos α取到最小值，最小值为－ cos ＝－ × ＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助单位圆结 合正、余弦函数的单调性进行分析. 2. 对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　函数y＝3＋2 cos x的最小值为 ⁠. 1 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜正、余弦函数值符号的判定及应用 【例4 】　（1）判断 sin 340° cos 265°的符号； 解：因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以 sin 340°＜0， cos 265°＜0. 所以 sin 340° cos 265°＞0. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若 sin 2α＞0，且 cos α＜0，试确定α所在的象限. 解：因为 sin 2α＞0，所以2kπ＜2α＜2kπ＋π（k∈Z）， 所以kπ＜α＜kπ＋ （k∈Z）. 当k为偶数时，设k＝2m（m∈Z），有2mπ＜α＜2mπ＋ （m∈Z）； 当k为奇数时，设k＝2m＋1（m∈Z），有2mπ＋π＜α＜2mπ＋ （m∈Z）. 所以α为第一或第三象限角. 又由 cos α＜0，可知α为第三象限角. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 正弦、余弦函数值的正负规律 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 （1）判断 的符号； 解：∵2∈ ，3∈ ，4∈ ，6∈ ，∴ sin 2 ＞0， cos 3＜0， sin 4＜0， cos 6＞0， ∴ ＞0. （2）若 sin α＞0， cos α＜0，判断角α所在象限. 解：∵ sin α＞0，∴α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上.∵ cos α＜ 0，∴α的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上. 故当 sin α＞0且 cos α＜0时，α在第二象限. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 函数f（x）＝2 sin x的最小正周期为（　　） A. 2π B. C. π D. 解析：　∵函数y＝ sin x的最小正周期为2π，∴函数f（x）＝2 sin x的最 小正周期为2π. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ cos x的一个单调递增区间为（　　） A. （－ ， ） B. （0，π） C. （ ， ） D. （π，2π） 解析：　当x∈（－ ，0）时，y＝ cos x单调递增；当x∈（0，π） 时，y＝ cos x单调递减；当x∈（π，2π）时，y＝ cos x单调递增.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 下列三角函数值的符号判断不正确的是（　　） A. cos （－280°）＜0 B. sin 500°＞0 C. sin （－ ）＜0 D. cos ＞0 解析：　∵－280°＝－360°＋80°，∴－280°是第一象限角，∴ cos （－280°）＞0；∵500°＝360°＋140°，∴500°是第二象限角，∴ sin 500°＞0；∵－ ＝－2π＋ ，∴－ 是第三象限角，∴ sin （－ ）＜ 0；∵ ＝4π＋ ，∴ 是第一象限角，∴ cos ＞0. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. y＝ 的定义域为： ，单调递增区间 为 ⁠. 解析：∵ sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ（k∈Z）；当x∈[0，π]时，y＝ 在 上单调递增.∴其单调递增区间为［2kπ，2kπ＋ ］ （k∈Z）. 5. y＝ cos x＋1的最大值为 　 　，最小值为 　 　. 解析：因为－1≤ cos x≤1，所以－ ≤ cos x≤ ，所以 ≤ cos x＋ 1≤ ，故y＝ cos x＋1的最大值为 ，最小值为 . ：  [2kπ，π＋2kπ]（k∈Z） ［2kπ，2kπ＋ ］（k∈Z） ​ ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 若－ ＜α＜0，则点Q（ sin α， cos α）所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为－ ＜α＜0，所以 cos α＞0， sin α＜0，所以点Q（ sin α， cos α）在第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝2－ sin x取最大值时，y，x的值分别为（　　） A. y＝3，x＝ B. y＝1，x＝ ＋2kπ（k∈Z） C. y＝3，x＝－ ＋2kπ（k∈Z） D. y＝3，x＝ ＋2kπ（k∈Z） 解析：当 sin x＝－1，即x＝－ ＋2kπ（k∈Z）时，y取得最大值3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知角A，B是△ABC的两个内角，则点P（ cos A， cos B）（　　） A. 不可能在第一象限 B. 不可能在第二象限 C. 不可能在第三象限 D. 不可能在第四象限 解析：　当角A，B是锐角时， cos A＞0， cos B＞0，点P在第一象限， 则A错误；当角A是钝角，角B是锐角时， cos A＜0， cos B＞0，点P在第 二象限，则B错误；因三角形最多有一个钝角，故 cos A与 cos B不可能同 时小于0，即点P不可能在第三象限，则C正确；当角A是锐角，角B是钝 角时， cos A＞0， cos B＜0，点P在第四象限，则D错误.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 下列区间中，使函数y＝ sin x为增函数的是（　　） A. [0，π] B. ［ ， ］ C. ［－ ， ］ D. [π，2π] 解析：　y＝ sin x在［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）上单调递增，所 以使函数y＝ sin x为增函数的是［－ ， ］. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕给出下列各三角函数值：① sin （－100°）；② cos （－ 220°）；③ cos 2；④ cos 1.其中符号为负的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 解析：对①：因为－100°为第三象限角，所以 sin （－100°）＜0；对②：因为－220°为第二象限角，所以 cos （－220°）＜0；对③：因为2弧度角为第二象限角，所以 cos 2＜0；对④：因为1弧度角为第一象限角，所以 cos 1＞0；故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. y＝｜ sin x｜的定义域为R B. y＝3 sin x＋1的最小值为1 C. y＝－ sin x为周期函数 D. y＝ sin x－1的单调递增区间为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z） 解析：对于B，y＝3 sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝ sin x－1的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］，k∈Z，故B、D错误， A、C正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 函数y＝lg 的定义域为 . 解析：要使函数y＝lg 有意义，需 cos x－ ＞0，即 cos x＞ . ∴－ ＋2kπ＜x＜ ＋2kπ，k∈Z. （－ ＋2kπ， ＋2kπ），k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 函数y＝1＋ sin α，α∈ 的单调递增区间是 　​ 　. 解析：如图，y＝1＋ sin α在 上单调递增，故单调递增区间为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. cos 0， cos ， cos ， cos 1， cos π的大小关系为 　 cos 0＞ cos ＞ cos ⁠. 解析：∵0＜ ＜ ＜1＜π，而y＝ cos x在区间[0，π]上单调递减，∴ cos 0 ＞ cos ＞ cos ＞ cos 1＞ cos π. cos 0＞ cos ＞ cos ＞ cos 1＞ cos π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 求下列函数的值域： （1）y＝ sin x，x∈ ； 解：函数y＝ sin x在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 又 sin ＝1， sin ＝－ ， sin ＝ ， 故函数y＝ sin x的值域为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）y＝－2 cos x，x∈ . 解：函数y＝ cos x在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 又 cos π＝－1， cos ＝ ， cos ＝－ ， 故函数y＝ cos x的值域为 . 所以函数y＝－2 cos x的值域为（－ ，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 设α是第三象限角，且｜ cos ｜＝－ cos ，则 所在象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋ ，k∈Z. 所以 kπ＋ ＜ ＜kπ＋ ，k∈Z，所以 在第二、四象限.又因为｜ cos ｜＝ － cos ，所以 cos ＜0.所以 在第二象限. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 若函数y＝ sin x和y＝ cos x在区间D上都单调递增，则区间D可以是 （　　） A. （0， ） B. （ ，π） C. （π， ） D. （ ，2π） 解析：函数y＝ sin x和y＝ cos x在区间D上都单调递增，则区间D为 （2kπ＋ ，2kπ＋2π），k∈Z，当k＝0时即选项D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知（ ） sin θ＜1，且2 cos θ＜1，则θ是第 象限角. 解析：由（ ） sin θ＜1，即（ ） sin θ＜（ ）0，得 sin θ＞0　①；由2 cos θ＜1，即2 cos θ＜20，得 cos θ＜0　②.由①②可知θ是第二象限角. 二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 利用单位圆，写出满足下列条件的角α的集合： （1） sin α≥ ； 解：由图1知当 sin α≥ 时，角α满足的集合为{α｜ ＋2kπ≤α≤ ＋2kπ，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） cos α≤ . 解：由图2知当 cos α≤ 时，角α满足的集合为{α｜ ＋2kπ≤α≤ ＋2kπ，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕函数y＝ ＋ 的值可能为（　　） A. －1 B. 0 C. －2 D. 2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：当x是第一象限角时，可得y＝ ＋ ＝1＋1＝2；当x是第二象限角时，可得y＝ ＋ ＝1－1＝0；当x是第三象限角时，可得y＝ ＋ ＝－1－1＝－2；当x是第四象限角时，可得y＝ ＋ ＝－1＋1＝0，故函数y＝ ＋ 的值域是{－2，0，2}.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝ . （1）判定函数f（x）是否为周期函数； 解：函数f（x）的定义域是R. 因为f（x＋2π）＝ ＝ ＝f（x），所以f（x）是周期 函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）的单调递增区间； 解：由正弦函数的基本性质，可知在区间［2kπ－ ，2kπ＋ ］（k∈Z）上，函数y＝ sin x单调递增，而此时函数h（x）＝2－ sin x单调递减，从而可知此时函数f（x）单调递增，故可知函数f（x）的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）当x∈（－ ， ］时，求f（x）的值域. 解：设t＝ sin x（x∈（－ ， ］）， 则t∈（－ ，1］，所以1≤2－t＜ ， 则 ＜ ≤1.故f（x）的值域为（ ，1］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $