第1章 §4 4.3 诱导公式与对称（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦诱导公式与对称，以单位圆对称性为切入点，通过回顾三角函数定义，引导学生探究角-α、π±α终边的对称关系，搭建从定义到公式推导的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合数学思维中的逻辑推理，通过例1将210°转化为锐角求值等实例，渗透转化思想，并用表格梳理公式增强数学语言表达。课堂小结系统整合知识，助力学生构建体系，教师可借此提升教学效率。

4．3　诱导公式与对称 1 新课导入 学习目标 　　正弦函数、余弦函数的定义表明了圆中某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与－α，π±α有什么样的对称关系？ 1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式． 2．能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　诱导公式与对称 思考1　我们是如何定义三角函数的？ 提示：三角函数定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等． 返回导航 思考2　如图，设角α，π＋α，－α，π－α的终边与单位圆O的交点分别为P，P1，P2，P3，则P与P1，P与P2，P与P3的坐标有怎样的关系？ 提示：点P与P1的纵坐标、横坐标都互为相反数；P与P2的横坐标相同，纵坐标互为相反数；P与P3的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 返回导航 终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示       [知识梳理] 返回导航 公式 sin (－α)＝________， cos (－α)＝______ sin (α＋π)＝_________， cos (α＋π)＝_________， sin (α－π)＝_________， cos (α－π)＝_________ sin (π－α)＝______， cos (π－α)＝_________ 特点 公式两边的函数名称一致； 将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 －sin α cos α －sin α －cos α －sin α －cos α sin α －cos α 返回导航 角度1　给角求值 [例1] (对接教材例6)求下列三角函数值． (1)cos 210°； 返回导航 返回导航 返回导航 (4)cos (－1 920°). 返回导航 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 返回导航 [跟踪训练1] 求下列各三角函数式的值． (1)sin 1 320°； 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 解决给值(式)求值问题的策略 (1)解决给值(式)求值问题，首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 返回导航 √ 返回导航 (2)已知sin (α＋π)＝－0.3，则sin (2π－α)＝________． 解析：因为sin (α＋π)＝－sin α＝－0.3，所以sin α＝0.3，所以sin (2π－α)＝－sin α＝－0.3. －0.3 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 利用诱导公式化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． (2)化简时一定要注意函数的符号有没有改变． 返回导航 1 返回导航 1 返回导航 三　诱导公式的综合应用 [例4] (1)已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)，且f(3)＝1，则f(2 026)的值为(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1 C．3 D．－3 【解析】　为f(3)＝a sin (3π＋α)＋b cos (3π＋β)＝－(asin α＋b cos β)＝1，所以a sin α＋b cos β＝－1. 所以f(2 026)＝a sin (2 026π＋α)＋b cos (2 026π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－1.故选A. √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 综合应用诱导公式解决求值或化简问题的思路是利用诱导公式将所求的角转化到已知区间上或转化为特殊角，然后由函数的结构特征推出所求函数值． 返回导航 [跟踪训练4] 对于任意角α有sin (nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)，具体推导过程如下： 当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有 sin (nπ＋α)＝sin (2kπ＋α)＝sin α＝(－1)2ksin α(k∈Z)； 当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有 sin (nπ＋α)＝sin (2kπ＋π＋α)＝－sin α＝(－1)2k＋1sin α(k∈Z). 综上，对任意角α有sin (nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z). 根据以上推导过程你能推导下列各式的结果吗？ 返回导航 (1)cos (nπ＋α)＝________________； 解析：cos (nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z). ①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有 cos (nπ＋α)＝cos (2kπ＋α)＝cos α＝(－1)2kcos α(k∈Z)； ②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有 cos (nπ＋α)＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α＝(－1)2k＋1cos α(k∈Z). 综上，对任意角α有cos (nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z). (－1)ncos α(n∈Z) 返回导航 (2)sin (nπ－α)＝___________________； 解析：sin (nπ－α)＝(－1)n－1sin α(n∈Z). ①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有 sin (nπ－α)＝sin (2kπ－α)＝－sin α＝(－1)2k－1sin α(k∈Z)； ②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有 sin (nπ－α)＝sin (2kπ＋π－α)＝sin α＝(－1)2ksin α(k∈Z). 综上，对任意角α有sin (nπ－α)＝(－1)n－1sin α(n∈Z). (－1)n－1sin α(n∈Z)　 返回导航 (3)cos (nπ－α)＝________________． 解析：cos (nπ－α)＝(－1)ncos α(n∈Z). ①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有 cos (nπ－α)＝cos (2kπ－α)＝cos α＝(－1)2kcos α(k∈Z)； ②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有 cos (nπ－α)＝cos (2kπ＋π－α)＝－cos α＝(－1)2k＋1cos α(k∈Z). 综上，对任意角α有cos (nπ－α)＝(－1)ncos α(n∈Z). (－1)ncos α(n∈Z) 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 38 √ 返回导航 2．(多选)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不一定成立的是(　　) A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β √ √ √ 返回导航 解析：因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β.对于A，B，cos α＝cos (180°－β)＝－cos β，故A符合题意，B不符合题意； 对于C，sin α＝sin (180°－β)＝sin β，故C符合题意； 对于D，由于sin α＝sin β，显然sin α＝cos β不一定成立，故D符合题意．故选ACD. 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：特殊关系角的终边对称性、三组诱导公式、给角求值、给值(式)求值问题、利用诱导公式化简． 2．须贯通：给角求值、给值(式)求值问题、利用诱导公式进行化简． 3．应注意：利用诱导公式进行化简求值时符号的确定． 返回导航 $