第1章 §4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦任意角的正弦函数、余弦函数概念，通过江南水乡水车转动的现实情境导入，联系坐标系中点的表示，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解单位圆定义及应用。 其亮点在于结合母题探究（如点P(4a,-3a)的参数分类讨论）和终边在直线上的问题（如y=-3x），培养数学思维的逻辑推理与分类讨论能力，以现实情境发展数学眼光，知识梳理与步骤总结用数学语言精确表达。助力学生理解概念本质，教师教学更具层次，提升课堂效率。

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1 新课导入 学习目标     江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然．若把水车放在坐标系中，则水车上的点就可以用水车转动的角度及水车的半径来表示． 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．会用三角函数定义解决相关问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 返回导航 (1)写出对应的点P1，P2，P3的坐标； 提示：每个角的正弦值都等于角的终边与单位圆交点的纵坐标，每个角的余弦值都等于角的终边与单位圆交点的横坐标． 返回导航 [知识梳理] 1．对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，把点P的____________定义为角α的正弦值，记作____________；把点P的__________定义为角α的余弦值，记作____________． 2．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数． 纵坐标v v＝sin α 横坐标u u＝cos α 返回导航 返回导航 (2)求出角α的终边与单位圆的交点P的坐标； 返回导航 (3)求出角α的正弦函数值和余弦函数值． 返回导航 单位圆法求三角函数的步骤 (1)先求出角的终边与单位圆交点的坐标； (2)再利用任意角的三角函数的定义求解． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 母题探究　将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin α，cos α的值． 返回导航 返回导航 √ 返回导航 (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角 α的终边OP上(O是坐标原点)，则sin α＝__________． 返回导航 √ 返回导航 (2)若角α的终边在函数y＝－3x的图象上，则cos α＝______________． 返回导航 (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (2)由于角的终边是一条射线，则终边在已知直线上的角包含两类角，这两类角的终边与单位圆的交点关于原点对称，求解时应注意分类处理． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 27 √ 返回导航 √ 返回导航 3．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值_______． 返回导航 4．已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＋cos α＝________． 返回导航 返回导航 1．已学习：任意角的正弦函数和余弦函数、利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值． 2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． 3．应注意：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关． 返回导航 解析：由题意得，＋y2＝1，所以y＝±，所以sin α＝y＝±. (2)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点P，若α＝kπ－(k∈Z)，则符合条件的点P的坐标可 以是____________________________________________． $