第1章 §3 弧度制（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦弧度制概念、角度与弧度互化及扇形弧长面积公式，通过海浪、嘴角等生活弧度实例导入，衔接初中角度制，以问题链搭建从具体到抽象的认知支架。 其亮点在于以“问题探究”驱动，通过推导弧长与半径比值关系培养数学思维，结合金属板截取扇形等实例落实数学语言表达。课堂小结强化弧度与角度本质联系，助学生建立角与实数对应，教师可借分层训练提升教学效率。

§3　弧度制 1 新课导入 学习目标  弧度是非常简单的 形状，也正是因为 有了弧度，世界才 完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵……而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　弧度制概念 思考1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 返回导航 思考2　射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的两点P，Q(不同于点O)形成的轨迹的长度为l，l1，其中OP＝r，OQ＝r1，在旋转过程中，弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 返回导航 [知识梳理] 1．单位圆：半径为_____________的圆． 2．弧度制 (1)弧度：在单位圆中，把长度等于_的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写). (2)弧度制：在单位圆中，每一段弧的______就是它所对圆心角的弧度数．这种以______作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 单位长度1 1 长度 弧度 返回导航 3．弧度数 正数 负数 0 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.(　　) (3)1弧度是1度的圆心角所对的弧．(　　) √　 × × 返回导航 √ 返回导航 3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为________． 解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 1弧度 返回导航 关于弧度制的理解 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 返回导航 二　弧度与角度的换算 [知识梳理] 1．常见角度与弧度互化公式如下： π 180° 返回导航 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 [跟踪训练1] (1)将－157°30′化成弧度为__________． 返回导航 －396° 返回导航 √ 返回导航 【解析】　对于A，B，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A，B错误； 返回导航 (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合是___________________________． 返回导航 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 三　扇形的弧长面积公式 [例3] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角． 返回导航 母题探究　若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 返回导航 返回导航 [跟踪训练3] 已知扇形的圆心角为α，半径为r. (1)若α＝2，r＝2，求扇形的周长和面积； (2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的周长最小时，圆心角α的值． 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ √ √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二、四 象限的平分线上，则角α的集合是_____________________．(用弧度制表示) 返回导航 4．(2025·吉安月考)已知扇形的弧长为20π cm，面积为300π cm2，求： (1)扇形的半径r； (2)扇形圆心角θ的弧度数． 返回导航 1．已学习：弧度制的概念、角度制与弧度制的互化、扇形的弧长与面积的计算． 2．须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系． 3．应注意：(1)弧度与角度不能混用； (2)弧长公式、扇形面积公式的圆心角必须以弧度为单位． 返回导航 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝_ rad π rad＝______ 1°＝ rad＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝＝≈57°18′ 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π $