专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，故答案为：． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：即， ∴在中，，∴的最小值为． 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（2025·四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 例2（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，设交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，，， ∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∵，， ∴，，∴， ∵，∴当点、、三点共线且垂直时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为．故答案为：． 例3（2025河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作射线，使得，过点P作，垂足为点E，则， 在中，，过点O作 ，垂足为点F，则， ，垂线段最短，， 的最小值为线段的长， 在矩形中，， ∴，， ， 在中，，．故答案为： 例4（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1） ；（2）的最小值为 ． 【答案】 30 【详解】解析：（1）四边形是菱形，，； （2）过点作于点，连接，，过点作于点，，， 的垂直平分线交于点，交于点，， ，的最小值为， ，，，的最小值为． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，交于点，作于点，则， ∵四边形是矩形，，，∴，， ∴，∴，∴，， 由折叠得，，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为，∴，故选：． 例6（25-26上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 例7（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图1：连接，四边形是菱形，． ，，. 是的垂直平分线，，； （2）解：如图1：过点作于点， ，，即．，． ∵四边形是菱形，，． ，， ，，过点A作于点， 在中，，∴ 根据勾股定理，得，； （3）解：如图：连接，， ，，当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值，在中，由（2）得：，的最小值为． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【详解】如图，过点P作PE⊥BC于点E， ∵四边形ABCD是菱形，AB=AC=10，∴AB=BC=AC=10， ∠ABD=∠CBD， ∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠CBD=30°，∵PE⊥BC，∴PE=PB，∴MP+PB=PM+PE， ∴当点M、P、E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME， ∵AM=4，∴MC=6，∵，∴，∴MP+PB的最小值为，故答案为：C． 2．（25-26上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，，∴，∵＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，，∴是等边三角形，∴， 在中，，∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为12，故选：D． 3.（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长，过点B作交于点P， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∵，∴，则，则， 同理可得：，∴， ∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小， ∵，∴．故选：A．    4.（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 5.（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 6.（2025·广东·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 7．（24-25八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，，，则对角线 ，点是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 4 3 【详解】解：过点作，过点作于点，交于点， ∵在矩形中，，，，则，， ，，∵，， ∵，，，∴， ，∴当点三点共线时，， 此时最小，∴的最小值是3．故答案为：4；3． 8．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴， ∵平行四边形中，，，，， ∴，，∴，∴，∴， ∴，∴当三点共线且时，最小，为， ∵，∴，由勾股定理得，， ∴最小值为，故答案为：． 9．（24-25·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在长方形中，对角线， ∴，∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴，∴， 过点作于点，连接，过点作于点，则：，， ∵，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短，∴当时， 最小，即点与点重合， ∵，∴，∴， ∴，即：的最小值为．故答案为：． 10．（2025·广东·校考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】3 【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，过点作， 中， ， 如图，当时，最小，最小值为 的最小值为．故答案为： 11．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 12．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 13．（25-26.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 故答案为： 14．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小试牛刀】 如图2，在中，，AD平分，，则BC= 　　． 【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为 ． 【答案】[小试牛刀]6；[变式探索]； 【详解】[小试牛刀]解：如图2，在中， ， ， 平分，， ，，，， ，； [变式探索] 如图3，过点P作于点E，过点D作于点F， 四边形ABCD是菱形，且，，， ，，，， ，当点D、P、E三点共线且时，的值最小，最小值为DF的长， 的最小值为； 15．（24-25八年级下·江苏·校考期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【答案】①是，理由见解析；② 【详解】解：①如图3，连接， 由（2）的结论可知，， 四边形是正方形，是正方形的对角线，，， ，，，， 由折叠可知，，，，， ，，，， ，四边形是菱形，，菱形是正方形； ②如图4，作交的延长线于点，作于点， ，由上知四边形是正方形， ，，，， ，，，； ，，是等腰直角三角形，， ，，，； 如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点， 则是等腰直角三角形，，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．，， ，，，， ，即的最小值为．故答案为：． 16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点F．求证．    (1)【思考尝试】教材有以下提示：取的中点G，连接，请在图1中补全图形，并解答这个问题． (2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形中，点E是线段延长线上一动点(点E与点C不重合)，是等腰直角三角形，．求证：平分请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形的边长为4，E为射线上一动点，以为边作等腰，连接．则的最小值是 (请在横线上直接写出结果) 【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【详解】（1）证明：取的中点，连接，        ∵、分别为、的中点，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）证明：过点作交延长线于点H， 则，∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， ，∴， ∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴；∴平分． （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接， 由（2）知，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴点与关于对称，∴，∴ 当三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，，由勾股定理得， ∵在中，，∴，∴， ∴的最小值为，则的最小值是． 17.（25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形，∴，，∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴，， ∴，∴；∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，，∴的最小值为6． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（2025·四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 例2（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 例3（2025河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ． 例4（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1） ；（2）的最小值为 ． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 例6（25-26上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    例7（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 2．（25-26上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3.（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 5.（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 6.（2025·广东·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 7．（24-25八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，，，则对角线 ，点是上的动点，连接，则的最小值是 ． 8．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 9．（24-25·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 10．（2025·广东·校考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 11．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 12．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 13．（25-26.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 14．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小试牛刀】 如图2，在中，，AD平分，，则BC= 　　． 【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为 ． 15．（24-25八年级下·江苏·校考期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点F．求证．    (1)【思考尝试】教材有以下提示：取的中点G，连接，请在图1中补全图形，并解答这个问题． (2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形中，点E是线段延长线上一动点(点E与点C不重合)，是等腰直角三角形，．求证：平分请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形的边长为4，E为射线上一动点，以为边作等腰，连接．则的最小值是 (请在横线上直接写出结果) 17.（25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $