专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 5 11 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵点与点关于对称，∴，，∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵，∴四边形为矩形， ∴，，∴，∴， ∴此时，即的最小值为． 逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 1）条件：已知在边长为a的正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的动点，且满足CE=DF， 求BF+DE的最小值。 证明：①DE在△DEC中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点D作∠FDG=∠DCE=90°，且DG=DC=a；构造出△DEC≌△GFD ( SAS)；证出DE=FG； ③BF+DE=BF+FG，根据两点之间，线段最短，连接BG，则BG即为所求，此时，B、F、G三点共线； ④求BG。在三角形ABG中利用勾股定理求出BG即可。 2）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b；构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ③AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。在三角形AHG中利用勾股定理求出AG即可。 3）条件：已知在菱形ABCD中，AB=m，，点E、F是边AD、BD上的动点，且满足BF=DE， 求AF+CE的最小值。 证明：①CE在△CDE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EDC，且BG=CD=m；构造出△CDE≌△GBF ( SAS)；证出CE=FG； ③AF+CE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。再根源题中已知条件（角度和长度）运用勾股定理求出AG即可。 4）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF， 求DF+DE的最小值。 证明：①DE在△ADE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EAD=90°，且BG=AD=a；构造出△EAD≌△FBG ( SAS)；证出DE=FG； ③DF+DE=DF+FG，根据两点之间，线段最短，连接DG，则DG即为所求，此时，D、F、G三点共线； ④求DG。在三角形ADG中利用勾股定理求出BG即可。 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 例1（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，，∴， ∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∵点A，点H关于BC对称，∴AH⊥BC，AN＝NH，∴FH＝AF， 又∵△ABC是等边三角形，∴BN＝NC＝，， ∴AH＝2AN＝， ∵AE＝CF，AB=BC，∴BE＝BF，∵在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE，∴DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH， ∴当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长， ∵AH⊥BC，∴，∵，∴， ∴，即的最小值为4．故答案为：4． 例2（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接，∵矩形中，，，    ∴，，依题意，，∴∴， 作点关于的对称点，连接，，则， ∵，则三点共线时，取得最小值， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 例3（2025·广西·一模）如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为，则______．    【答案】 【详解】如图所示，延长至点，使得，连接，，，    ，，，， ，， 当点、、在同一直线上时，取最小值，， ，在中，，， ，，．故答案是：． 例4（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，菱形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，， ∴，∴， ∴，在中，， ∴的最小值是，故答案为：． 例6（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2，∴．， ∴．∴．∴． 在和中，，∴． ∴．∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 例7（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，且，连接， 由题意，得：，∵正方形，∴，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在中，，∴的最小值为； 例8（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且．（1）若，则 ；（2）的最小值为 ．    【答案】 / 【详解】解：（1）四边形是正方形，且边长为4，， ，，， ，，故答案为：； （2）连接，四边形是正方形，且边长为4，，   ， ，，， 在和中，，，， 作点关于的对称点，连接，则， ，当在同一直线时，最小， ，在中，， 的最小值为：，故答案为：． 1．（2025·山东淄博·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接DE，根据正方形的性质及BE=CF，∴DF=CE，AD=CD， ∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE=AF，∴AE+AF=AE+DE， 作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE=A′E，即AE+AF=AE+DE=A'E+DE， 当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故AE+AF的最小值为．故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵菱形中，，且，∴， ∴，∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17．故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则，∴； 在▱中，，∴； ∵，∴，∴； ∵，∴，∴，∴， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为．故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，已知正方形的边长为2，点分别在上，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接，    ∵四边形为正方形，边长为2，∴，， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∴当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， 此时在中，，∴的最小值为．故答案为：． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N，∴， ∵H是中点，∴，∵四边形是边长为4的菱形， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为．故答案为：． 6.（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为 ． 【答案】3 【详解】解：如图所示， 设正方形的边长为a，在正方形中，， 则．延长至E，使得，连接， ∵，∴，∴，∴， 当点Q在上时，取最小值．∵的最小值为，即， 在中，，即，解得（负值舍去）．故答案为：3． 7．（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵点与点关于对称，∴，，∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵，∴四边形为矩形， ∴，，∴，∴， ∴此时，即的最小值为．故答案为：。 8．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，在矩形中，，， 在与中，，，， ，垂直平分，，， ，，， ，， ，故的最小值为，故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作，且，连接，设交于点O， ∵四边形是菱形，∴， ∵，∴，即，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得或（舍去），∴，∴； ∵四边形是菱形，∴，∴； ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，∴的最小值为． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为5，∴．∵，∴． ∴．∴．∴． 在和中，，∴．∴． ∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交的延长线于，连接， ∵正方形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 当三点共线时最短，∵正方形边长为3， ∴，而，∴的最小值为：；故答案为： 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，分别为边、上的点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示： ∵平行四边形，， ∴，，， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵点C、H关于对称，∴，，， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ，，，， ，，故答案为：． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，∴， 又∵，，∴，∴，∴， ∴当点D，点Q，点H三点共线时，有最小值为的长， 在中，由勾股定理可得：，故答案为：13． 14．（24-25八年级下湖北武汉期中）菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 【答案】(1)=，116(2)(3)75； 【详解】（1）解：∵菱形，∴和关于对称， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴，即． ∴．故答案为：=；116． （2）解：在中，， 如图：连接，由对称性可知：，设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：，∴， 由（1）可知，．∴． （3）解：如图：过点D作，截取，连接． ∵菱形，∴，∵，∴为等边三角形，即， ∵菱形，∴垂直平分，∴， ∵，∴． 在和中，，∴．∴． 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小． ∵，∴， 又∵，∴为等腰直角三角形，∴， 当最小时，．故答案为：75；． 15．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点，∴，，， 在菱形中，，,∴，， ∴点是点E关于的对称点，∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，，∴，则为等边三角形， ∴，∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点，∴，，即， 又，，∴，则， 在中，， 又∵，，，∴， ∴的最小值为，故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形，∴，， 在上取点H，使得，连接，则∴四边形是平行四边形，∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号，∴的最小值为， ∵，．∴中，，， ∴，∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，，∴，，， ∴，， ∴，又，∴，∴， ∴，当A、F、P共线时取等号，∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，在中，， ∴，∴的最小值为． 16．（2025·陕西咸阳·一模）【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为___________； 【问题探究】（2）如图2，在边长为2的等边中，点是上一点，、分别是、边上的动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花圃，对角线、是其中的两条观赏小路，在的交点处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值）    【答案】（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为． 【详解】解：（1）如图，连接，∵，，，∴，    ∵点O是对角线上的动点，∴当三点共线时，最短，∴最小值为13． （2）过点B作，且截取，连接，，交于点G． ∴四边形是平行四边形，则．     ∵是等边三角形，，∴．     在和中，，，， ∴，∴，    ∴， ∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，， ∴的最小值为2．     （3）过点A作，且截取，连接，，交于点H． ∵四边形是正方形，，∴．     在和中，，，， ∴，∴，∴， ∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．     过点G作交的延长线于点M．   ∵四边形是正方形，， ∴，，，．     ∴，而，∴，是等腰直角三角形， ∴，∴，    在中，， ∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为． 17．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】（1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】（3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）米 【详解】（1）如下图，四边形是矩形，， ∵，，，，，故答案为：； （2）如图，连接，连接，交于， 点、分别是、的中点，，当时，最小，从而最小， 四边形是菱形，，，， ，，由， ，，； （3）如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接， 四边形是矩形，，，， ，，，， 四边形是平行四边形，是矩形，， ，，米， ，，，， 是的中点，，，作于，则最小值是的值， 米，米，米， 灌溉水渠总长度的最小值为：米． 18．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）（1）问题背景：如图1，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：；（2）变式关联：如图2，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：．（3）拓展应用：如图3，正方形的边长为2，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3） 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ，，； （2）证明： 延长交于， 交于， ∵四边形为正方形， ∵，∴， ∵，， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）过点作， 且使， 连接，， 过点作， 交的延长线于点， ∵， ，∴，∴， ∵，∴， ， ∴， 即当， ，三点共线时，的最小值为， ∵，，， 的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 5 11 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 1）条件：已知在边长为a的正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的动点，且满足CE=DF， 求BF+DE的最小值。 证明：①DE在△DEC中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点D作∠FDG=∠DCE=90°，且DG=DC=a；构造出△DEC≌△GFD ( SAS)；证出DE=FG； ③BF+DE=BF+FG，根据两点之间，线段最短，连接BG，则BG即为所求，此时，B、F、G三点共线； ④求BG。在三角形ABG中利用勾股定理求出BG即可。 2）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b；构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ③AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。在三角形AHG中利用勾股定理求出AG即可。 3）条件：已知在菱形ABCD中，AB=m，，点E、F是边AD、BD上的动点，且满足BF=DE， 求AF+CE的最小值。 证明：①CE在△CDE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EDC，且BG=CD=m；构造出△CDE≌△GBF ( SAS)；证出CE=FG； ③AF+CE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。再根源题中已知条件（角度和长度）运用勾股定理求出AG即可。 4）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF， 求DF+DE的最小值。 证明：①DE在△ADE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EAD=90°，且BG=AD=a；构造出△EAD≌△FBG ( SAS)；证出DE=FG； ③DF+DE=DF+FG，根据两点之间，线段最短，连接DG，则DG即为所求，此时，D、F、G三点共线； ④求DG。在三角形ADG中利用勾股定理求出BG即可。 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 例1（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为 ． 例2（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．    例3（2025·广西·一模）如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为，则______．    例4（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，菱形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，且，则的最小值为 ． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 例6（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 例7（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 例8（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且．（1）若，则 ；（2）的最小值为 ．    1．（2025·山东淄博·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，已知正方形的边长为2，点分别在上，连接，若，则的最小值为 ．    5．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 6.（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为 ． 7．（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 8．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为 ． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 11．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，分别为边、上的点，且，连接，则的最小值为 ． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，则的最小值为 ． 14．（24-25八年级下湖北武汉期中）菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 15．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 16．（2025·陕西咸阳·一模）【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为___________； 【问题探究】（2）如图2，在边长为2的等边中，点是上一点，、分别是、边上的动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花圃，对角线、是其中的两条观赏小路，在的交点处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值）    17．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】（1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】（3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 18．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）（1）问题背景：如图1，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：；（2）变式关联：如图2，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：．（3）拓展应用：如图3，正方形的边长为2，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $